1. 명제 ‘이번 일요일에 체육 대회가 열리지 않으면, 그날 날씨는 맑지 않다.’의 대우는?
① 이번 일요일에 체육 대회가 열리면, 그날 날씨는 맑다.
② 그날 날씨가 맑지 않으면, 이번 일요일에 체육대회는 열리지 않는다.
③ 그날 날씨가 맑으면, 이번 일요일에 체육 대회는 열린다.
④ 이번 일요일에 체육 대회가 열리지 않으면, 그날 날씨는 맑다.
⑤ 이번 일요일에 체육 대회가 열리면, 그날 날씨는 맑지 않다.
2. a, b가 실수일 때, 부등식 ∣a∣<∣b∣가 성립할 필요충분조건은?
① a<b
② a2<b2
③ a1<b1
④ ∣a∣<b
⑤ a<∣b∣
3. 1=1=(−1)(−1)=−1−1=(−1)2=−1에서 등호가 잘못 사용된 부분은?
① 1=1
② 1=(−1)(−1)
③ (−1)(−1)=−1−1
④ −1−1=(−1)2
⑤ (−1)2=−1
4. 두 자연수 a, b에 대하여 a와 b의 최대공약수를 D(a,b)로 나타낼 때, 다음 중 옳지 않은 것은?
① D(a,b)=D(b,a)
② D(a,a)=a
③ D(a+2,b+2)=D(a,b)+2
④ D(2a,2b)=2D(a,b)
⑤ D(1,a)=1
5. 좌표평면에서 두 집합 A={(x,y)∣(x+y−1)(x−y−1)=0},B={(x,y)∣x2−y2=0}의 교집합 A∩B에 속해 있는 원소의 개수는?
① 무수히 많다.
② 0
③ 4
④ 1
⑤ 2
[6~7] 함수 f:R→R를
x가 유리수일 때 f(x)=1, x가 무리수일 때 f(x)=0
으로 정의하자. (단, R는 실수 전체의 집합이다.)
6. 다음 중 옳은 것은?
① f(32)=1, f(2)=1
② f(32)=1, f(2)=0
③ f(32)=0, f(2)=1
④ f(32)=0, f(2)=0
⑤ f(0)=0, f(1)=0
7. 합성함수 f∘f의 치역은?
① 무리수 전체의 집합
② 유리수 전체의 집합
③ {0,1}
④ {0}
⑤ {1}
8. 어느 마을의 남녀 전체의 평균 나이가 45세이다. 이 마을 남자의 평균 나이가 50세이고 여자의 평균 나이가 40세일 때, 남자와 여자의 수의 비는?
① 1:1
② 2:1
③ 1:2
④ 3:1
⑤ 1:3
9. 다음은 나머지 정리의 증명 과정이다.
다항식 P(x)를 x−a로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 Q(x), R이라고 하면 P(x)= ㉠ +R이다. 위의 등식에 x=a를 대입하면 P(a)= ㉡ 이다.
위의 증명 과정에서 ㉠, ㉡ 각각에 알맞은 식은?
① ㉠ : Q(x) / ㉡ : Q(a)
② ㉠ : x−a / ㉡ : R
③ ㉠ : x−a / ㉡ : aR
④ ㉠ : x−aQ(x) / ㉡ : Q(a)R
⑤ ㉠ : Q(x)(x−a) / ㉡ : R
10. 점 (2,1)을 지나는 직선이 포물선 y2=x와 원점 O가 아닌 두 점 P, Q에서 만나고, ∠POQ가 직각일 때, 직선 PQ의 방정식은?
① y=−x+3
② y=2x−3
③ y=−x−1
④ y=x−1
⑤ y=2x+3
11. 두 정수 a, b의 차가 2로 나누어 떨어질 때, 이를 a≡b로 나타내기로 하자. a≡1, b≡1일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?
① a+b≡a−b
② a−b≡(a−1)(b−1)
③ a+b≡(a+1)(b+1)
④ 2a+1≡3b+1
⑤ a+b≡(a−1)(b−1)
12. 포물선 y=ax2+bx+c 위의 두 점 (1,y1), (−1,y2)에 대하여 y1−y2=10일 때, b의 값은?
① 0
② 5
③ −5
④ 10
⑤ −10
13. 좌표평면 위에 네 점 A(0,0), B(4,0), C(4,5), D(0,5)가 주어져 있다. PA+PB+PC+PD를 최소로 하는 점 P의 좌표는?
① (2,25)
② (2,0)
③ (0,25)
④ (4,0)
⑤ (0,5)
14. 두 미지수 x, y에 관한 연립방정식 {4x+3y=kxx+2y=ky에 대하여, 다음 명제 중 옳은 것은?
① k=0일 때, 위의 연립방정식은 무수히 많은 해를 가진다.
② k=1일 때, 위의 연립방정식은 무수히 많은 해를 가진다.
③ k=1일 때, 위의 연립방정식의 해는 x=0, y=0 뿐이다.
④ k의 값에 관계없이 위의 연립방정식의 해는 x=0, y=0 뿐이다.
⑤ k의 값에 관계없이 위의 연립방정식의 해는 없다.
15. 목욕통에 세 개의 수도 꼭지 A, B, C로 물을 채우려고 한다. 세 개를 모두 틀어 물을 채우면 1시간이 걸리고, A와 C를 틀어 채우면 1.5시간 걸리고, B와 C를 틀어 채우면 2시간 걸린다. A와 B를 틀어 채울 때 걸리는 시간은?
① 1.2
② 1.25
③ 1.3
④ 1.35
⑤ 1.5
16. 등식 log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=log4(log2(log3z))=0이 성립할 때 x+y+z의 값은?
① 50
② 55
③ 58
④ 89
⑤ 111
17. 두 함수 y=log103x, y=3log10x의 그래프에 대하여 다음 설명 중 옳은 것은?
① 두 그래프는 일치한다.
② 두 그래프는 만나지 않는다.
③ 두 그래프는 한 점에서만 만난다.
④ 두 그래프는 두 점에서만 만난다.
⑤ 두 그래프는 세 점에서만 만난다.
18. 수열
1, −2, 3, −4, 5, ⋯, (−1)n+1n, ⋯
에서 첫째 항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 할 때, S100+S29의 값은?
① −35
② −65
③ 35
④ 65
⑤ 129
[19~20] 평면 위에서 어느 두 직선도 평행하지 않도록, 그리고 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않도록, 직선을 그어서 평면을 분할하려고 한다.
19. k개의 직선이 이미 그어져 있을 때, 한 직선을 더 그으면 몇 개의 분할이 더 생기는가? (단, k≥2)
① 1
② 2
③ k
④ k+1
⑤ k+2
20. n개의 직선을 그었을 때, 평면은 몇 개의 부분으로 분할되는가? (단, n≥2)
① n
② 2n
③ 2+k=1∑n−1k
④ 2+k=1∑n−1(k+1)
⑤ 2+k=1∑n−1(k+2)
주관식1. 두 실수 a, b에 대하여 a∗b를
a2≤2b이면 a∗b=2b, a2>2b이면 a∗b=a2
으로 정의하자. [3점]
⑴ 32∗32의 값을 구하여라.
⑵ 함수 f(x)=x∗x의 그래프를 그려라.
주관식2. 좌표평면 위에 세 점 A(0,2), B(−2,0), C(2,0)를 꼭지점으로 가지는 삼각형 ABC가 있다. 밑변 BC 위의 한 점 P(x,0)을 지나 BC에 수직인 직선으로 이 삼각형을 두 부분으로 나눌 때, 꼭지점 B 쪽의 도형의 넓이 y를 x의 함수로 나타내라. (단, −2<x<2) [3점]
주관식3. 함수 y=sin2θ+2acosθ−1 (0≤θ≤2π)에서 a>0이고 또 이 함수의 최대값이 4일 때, a의 값을 구하라. [4점]