고2/수학

1990-12 고2 1차 실험평가 수학

고인도르 2023. 2. 5. 12:42
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대학수학능력시험 1차 실험평가 수학

시행 : 1990.12.19(수)

대상 : 고등학교 2학년

출제 : 교육과정평가원

1990-12 고2 1차 실험평가 2수학[문제].pdf
1.75MB
1990-12 고2 1차 실험평가 2수학[정답].pdf
0.58MB


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1. 명제 ‘이번 일요일에 체육 대회가 열리지 않으면, 그날 날씨는 맑지 않다.’의 대우는?

① 이번 일요일에 체육 대회가 열리면, 그날 날씨는 맑다.
② 그날 날씨가 맑지 않으면, 이번 일요일에 체육대회는 열리지 않는다.
③ 그날 날씨가 맑으면, 이번 일요일에 체육 대회는 열린다.
④ 이번 일요일에 체육 대회가 열리지 않으면, 그날 날씨는 맑다.
⑤ 이번 일요일에 체육 대회가 열리면, 그날 날씨는 맑지 않다.

2. aa, bb가 실수일 때, 부등식 a<b|a| <|b|가 성립할 필요충분조건은?

a<ba< b
a2<b2a^{2}< b^{2}
1a<1b\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}
a<b|a|< b
a<ba<|b|

3. 1=1=(1)(1)=11=(1)2=11=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\left(\sqrt{-1}\right)^{2}=-1에서 등호가 잘못 사용된 부분은?

1=11=\sqrt{1}
1=(1)(1)\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}
(1)(1)=11\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}
11=(1)2\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\left(\sqrt{-1}\right)^{2}
(1)2=1\left(\sqrt{-1}\right)^{2}=-1

4. 두 자연수 aa, bb에 대하여 aabb의 최대공약수를 D(a,b)D(a, b)로 나타낼 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

D(a,b)=D(b,a)D(a, b) =D(b, a)
D(a,a)=aD(a, a)=a
D(a+2,b+2)=D(a,b)+2D(a+2, b+2)=D(a, b)+2
D(2a,2b)=2D(a,b)D(2a, 2b)=2D(a, b)
D(1,a)=1D (1, a) = 1

5. 좌표평면에서 두 집합 A={(x,y)(x+y1)(xy1)=0},    B={(x,y)x2y2=0}A=\left\{ (x, y)\,|\, (x+y-1)(x-y-1)=0\right\},\,\,\,\,B=\left\{ (x, y) \,|\, x^{2} - y^{2} =0\right\}의 교집합 ABA\cap B에 속해 있는 원소의 개수는?

① 무수히 많다.
00
44
11
22

[6~7] 함수 f:RRf:\mathbb{R} \to \mathbb{R}

xx가 유리수일 때 f(x)=1f(x)=1,
xx가 무리수일 때 f(x)=0f(x)=0

으로 정의하자. (단, R\mathbb{R}는 실수 전체의 집합이다.)

6. 다음 중 옳은 것은?

f(23)=1f\left(\dfrac{2}{3}\right)=1, f(2)=1f\left(\sqrt{2}\right)=1
f(23)=1f\left(\dfrac{2}{3}\right)=1, f(2)=0f\left(\sqrt{2}\right)=0
f(23)=0f\left(\dfrac{2}{3}\right)=0, f(2)=1f\left(\sqrt{2}\right)=1
f(23)=0f\left(\dfrac{2}{3}\right)=0, f(2)=0f\left(\sqrt{2}\right)=0
f(0)=0f(0)=0, f(1)=0f(1)=0

7. 합성함수 fff\circ f의 치역은?

① 무리수 전체의 집합
② 유리수 전체의 집합
{0,1}\left\{0,1\right\}
{0}\left\{0\right\}
{1}\left\{1\right\}

8. 어느 마을의 남녀 전체의 평균 나이가 4545세이다. 이 마을 남자의 평균 나이가 5050세이고 여자의 평균 나이가 4040세일 때, 남자와 여자의 수의 비는?

1:11:1
2:12:1
1:21:2
3:13:1
1:31:3

9. 다음은 나머지 정리의 증명 과정이다.

다항식 P(x)P(x)xax-a로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 Q(x)Q(x), RR이라고 하면 P(x)=  ㉠  +RP(x) =\fbox{  ㉠  }+R이다. 위의 등식에 x=ax=a를 대입하면 P(a)=  ㉡  P(a) =\fbox{  ㉡  }이다.

위의 증명 과정에서 ㉠, ㉡ 각각에 알맞은 식은?

① ㉠ : Q(x)Q(x) / ㉡ : Q(a)Q(a)
② ㉠ : xax-a / ㉡ : RR
③ ㉠ : xax-a / ㉡ : aRaR
④ ㉠ : Q(x)xa\dfrac{Q(x)}{x-a} / ㉡ : Q(a)RQ(a)R
⑤ ㉠ : Q(x)(xa)Q(x)(x-a) / ㉡ : RR

10. 점 (2,1)(2, 1)을 지나는 직선이 포물선 y2=xy^{2} =x와 원점 OO가 아닌 두 점 PP, QQ에서 만나고, POQ\angle POQ가 직각일 때, 직선 PQPQ의 방정식은?

y=x+3y =-x +3
y=2x3y = 2x - 3
y=x1y = -x-1
y=x1y= x-1
y=2x+3y = 2x +3

11. 두 정수 aa, bb의 차가 22로 나누어 떨어질 때, 이를 aba\equiv b로 나타내기로 하자. a1a\equiv 1, b1b\equiv 1일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

a+baba+b\equiv a-b
ab(a1)(b1)a-b\equiv (a-1)(b-1)
a+b(a+1)(b+1)a+b\equiv (a+1)(b+1)
2a+13b+12a+1\equiv 3b+1
a+b(a1)(b1)a+b\equiv (a-1)(b-1)

12. 포물선 y=ax2+bx+cy=ax^{2}+bx +c 위의 두 점 (1,y1)(1, y_{1}), (1,y2)(-1, y_{2})에 대하여 y1y2=10y_{1}- y_{2}=10일 때, bb의 값은?

00
55
5-5
1010
10-10

13. 좌표평면 위에 네 점 A(0,0)A(0, 0), B(4,0)B(4, 0), C(4,5)C(4, 5), D(0,5)D(0, 5)가 주어져 있다. PA+PB+PC+PD\overline{PA}+\overline{PB}+\overline{PC}+\overline{PD}를 최소로 하는 점 PP의 좌표는?

(2,52)\left(2,\dfrac{5}{2}\right)
(2,0)(2,0)
(0,52)\left(0,\dfrac{5}{2}\right)
(4,0)(4,0)
(0,5)(0,5)

14. 두 미지수 xx, yy에 관한 연립방정식 {4x+3y=kxx+2y=ky\begin{cases}4x +3y =kx\\x +2y =ky\end{cases}에 대하여, 다음 명제 중 옳은 것은?

k=0k = 0일 때, 위의 연립방정식은 무수히 많은 해를 가진다.
k=1k = 1일 때, 위의 연립방정식은 무수히 많은 해를 가진다.
k=1k = 1일 때, 위의 연립방정식의 해는 x=0x = 0, y=0y = 0 뿐이다.
kk의 값에 관계없이 위의 연립방정식의 해는 x=0x = 0, y=0y = 0 뿐이다.
kk의 값에 관계없이 위의 연립방정식의 해는 없다.

15. 목욕통에 세 개의 수도 꼭지 A, B, C로 물을 채우려고 한다. 세 개를 모두 틀어 물을 채우면 11시간이 걸리고, A와 C를 틀어 채우면 1.51.5시간 걸리고, B와 C를 틀어 채우면 22시간 걸린다. A와 B를 틀어 채울 때 걸리는 시간은?

1.21.2
1.251.25
1.31.3
1.351.35
1.51.5

16. 등식 log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=log4(log2(log3z))=0\log_{2}\left( \log_{3}\left(\log_{4}x\right)\right)=\log_{3}\left(\log_{4}\left(\log_{2}y\right)\right) = \log_{4}\left(\log_{2}\left(\log_{3}z\right)\right) = 0이 성립할 때 x+y+zx+y+z의 값은?

5050
5555
5858
8989
111111

17. 두 함수 y=log103xy=\log_{10}3x, y=3log10xy=3\log_{10}x의 그래프에 대하여 다음 설명 중 옳은 것은?

① 두 그래프는 일치한다.
② 두 그래프는 만나지 않는다.
③ 두 그래프는 한 점에서만 만난다.
④ 두 그래프는 두 점에서만 만난다.
⑤ 두 그래프는 세 점에서만 만난다.

18. 수열

11, 2-2, 33, 4-4, 55, \cdots, (1)n+1n(-1)^{n+1}n, \cdots

에서 첫째 항부터 제nn항까지의 합을 SnS_{n}이라고 할 때, S100+S29S_{100}+S_{29}의 값은?

35-35
65-65
3535
6565
129129

[19~20] 평면 위에서 어느 두 직선도 평행하지 않도록, 그리고 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않도록, 직선을 그어서 평면을 분할하려고 한다.

19. kk개의 직선이 이미 그어져 있을 때, 한 직선을 더 그으면 몇 개의 분할이 더 생기는가? (단, k2k\ge 2)

11
22
kk
k+1k+1
k+2k+2

20. nn개의 직선을 그었을 때, 평면은 몇 개의 부분으로 분할되는가? (단, n2n\ge 2)

nn
2n2n
2+k=1n1k2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k
2+k=1n1(k+1)2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)
2+k=1n1(k+2)2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(k+2)

주관식1. 두 실수 aa, bb에 대하여 aba\ast b

a22ba^{2}\le 2b이면 ab=2ba\ast b=2b,
a2>2ba^{2}> 2b이면 ab=a2a\ast b=a^{2}

으로 정의하자. [3점]

2323\dfrac{2}{3}\ast \dfrac{2}{3}의 값을 구하여라.

⑵ 함수 f(x)=xxf(x)=x\ast x의 그래프를 그려라.

주관식2. 좌표평면 위에 세 점 A(0,2)A(0, 2), B(2,0)B(-2, 0), C(2,0)C(2, 0)를 꼭지점으로 가지는 삼각형 ABCABC가 있다. 밑변 BC\overline{BC} 위의 한 점 P(x,0)P(x, 0)을 지나 BC\overline{BC}에 수직인 직선으로 이 삼각형을 두 부분으로 나눌 때, 꼭지점 BB 쪽의 도형의 넓이 yyxx의 함수로 나타내라. (단, 2<x<2-2< x < 2) [3점]

주관식3. 함수 y=sin2θ+2acosθ1y=\sin^{2}\theta +2a\cos \theta -1 (0θ2π0 \le\theta\le 2\pi)에서 a>0a>0이고 또 이 함수의 최대값이 44일 때, aa의 값을 구하라. [4점]