1997-11 고3 수능 수학(자연계)

1998학년도 대학수학능력시험 수학(자연계)

시행 : 1997.11.19(수)

대상 : 고등학교 3학년

출제 : 교육과정평가원

1997-11 고3 수능 2수학(자연계)[문제].pdf

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1997-11 고3 수능 2수학(자연계)[정답].pdf

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1997-11 고3 수능 2수학(자연계)[해설].pdf

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1. $\left( 125^{2} -75^{2} \right) \div \left\{ 5+(30-50)\div (-4) \right\}$의 값은?

① $75$
② $125$
③ $900$
④ $1000$
⑤ $1225$

2. $\alpha =-2+i$, $\beta =1-2i$일 때, $\alpha \overline{\alpha} + \overline{\alpha} \beta + \alpha \overline{\beta} + \beta \overline{\beta}$의 값은? (단, $\overline{\alpha}$, $\overline{\beta}$는 각각 $\alpha$, $\beta $의 켤레 복소수이고 $i= \sqrt{-1}$이다.)

① $1$
② $2$
③ $4$
④ $10$
⑤ $20$

3. 두 벡터 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$가 이루는 각이 $60˚$이다. $\overrightarrow{b}$의 크기는 $1$이고, $\overrightarrow{a} -3 \overrightarrow{b}$의 크기가 $\sqrt{13}$일 때, $\overrightarrow{a}$의 크기는?

① $1$
② $3$
③ $4$
④ $5$
⑤ $7$

4. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (3x^{3} +5x^{2} +4x)}{2x^{3} +2x^{2} +x}$의 값은?

① $4$
② $3$
③ $\dfrac{3}{2}$
④ $1$
⑤ $\dfrac{\sin 3}{2}$

5. 전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여 $$A\ast B=(A \cap B) \cup (A \cup B)^{c}$$라고 정의할 때, 항상 성립한다고 할 수 없는 것은? (단, $U \ne \phi $)

① $A\ast U=U$
② $A\ast B=B\ast A$
③ $A\ast \phi =A^{c}$
④ $A\ast B=A^{c} \ast B^{c}$
⑤ $A\ast A^{c} = \phi $

6. 어떤 일차변환은 점 $P(2, 0)$을 점 $Q \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$로, 점 $R(0, 2)$를 점 $S \left( - \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$로 옮긴다. 이 일차변환을 나타내는 행렬을 $A$라고 하자. $A^{4} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$일 때, $\dfrac{a+bi}{1+i}$의 값은? (단, $i= \sqrt{-1} $)

① $- \dfrac{1}{16} $
② $\dfrac{\sqrt{2}}{8}$
③ $\dfrac{1}{16} i$
④ $\dfrac{\sqrt{2} +i}{8}$
⑤ $\dfrac{-1+ \sqrt{2}}{16}$

7. 다음 그림은 동일한 저항( ) $10$개가 연결된 회로이다. 이 회로와 연결 상태가 같은 것은?

8. 어느 청량 음료 회사의 연간 청량 음료 판매량은 그 해 여름의 평균 기온에 크게 좌우된다. 과거 자료에 따르면, 한 해의 판매 목표액을 달성할 확률은 그 해 여름의 평균과 비슷할 경우에 예년보다 높을 경우에 $0.8$, 예년보다 비슷할 경우에 $0.6$, 예년보다 낮을 경우에 $0.3$이다. 일기 예보에 따르면 내년 여름의 평균기온이 예년보다 높을 확률이 $0.4$, 예년과 비슷할 확률이 $0.5$, 예년보다 낮을 확률이 $0.1$이라고 한다. 이 회사가 내년에 판매 목표액을 달성할 확률은?

① $0.55$
② $0.60$
③ $0.65$
④ $0.70$
⑤ $0.75$

9. 포물선 $y=x (x+1)$ 위에 점 $A(-1, 0)$이 있다. 점 $P$가 점 $A$에서 포물선을 따라 원점 $O$로 한없이 가까이 갈 때, $\angle APO$의 크기의 극한값은?

① $90˚$
② $120˚$
③ $135˚$
④ $150˚$
⑤ $180˚$

10. 다항식 $P (x)$가 다음 항등식을 만족한다. $$P(P(x)+x)=(P(x)+x)^{2} -(P(x)+x)+1$$ 이 때, 미분계수 $P^{\prime} (0)$의 값은?

① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$

11. 모든 실수 $x$에 대하여 미분가능한 함수 $f (x)$가 다음 조건을 만족한다. $$f (1-x)=1-f (x)$$ 다음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은?

① $f (0)+f (1)=1$
② $f^{\prime} (0)=f^{\prime} (1)$
③ $\displaystyle\int_{0}^{1} f (x) d x=\dfrac{1}{2}$
④ $f \left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2}$
⑤ $f (0)=0$

12. 연속확률변수 $X$가 평균 $m$, 표준편차 $\sigma$인 정규분포를 따를 때 $X$의 확률밀도함수는 $$f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{- {{1}\over{2 \sigma^{2}}} (x-m)^{2}}\,\,\,\,(- \infty < x < \infty)$$ 이다. 오른쪽의 표준정규분포표를 이용하여 $$\displaystyle\int_{4}^{6.6} \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} e^{- {{(x-5)^{2}}\over{8}}} dx$$의 근사값을 구하면?

$z$	$P(0 < Z \le z)$
$0.1$	$0.0398$
$0.2$	$0.0793$
$0.3$	$0.1179$
$0.4$	$0.1554$
$0.5$	$0.1915$
$0.6$	$0.2257$
$0.7$	$0.2580$
$0.8$	$0.2881$
$0.9$	$0.3159$
$1.0$	$0.3413$

① $0.1199$
② $0.3864$
③ $0.6826$
④ $0.9505$
⑤ $1.9184$

13. 다음 그림과 같이 $A$와 $B$가 직선 위를 따라 같은 방향으로 달린다. $B$는 $A$보다 $200$m 앞에서 $A$와 동시에 출발한다. $A$의 출발점을 $a_{1}$, $B$의 출발점을 $a_{2}$, $A$가 $a_{2}$에 도달했을 때 $B$의 위치를 $a_{3}$, $A$가 $a_{3}$에 도달했을 때 $B$의 위치를 $a_{4}$라고 하자. 이와 같은 방법으로 계속하여 점 $a_{n}$ ($n=1$, $2$, $3$, $\cdots$)을 정한다. $A$의 속도가 $B$의 속도의 $2$배이면, $A$와 $B$ 사이의 거리가 $1$m 이내가 되기 시작할 때 $A$의 위치는?

① $a_{4}$와 $a_{5}$ 사이
② $a_{6}$과 $a_{7}$ 사이
③ $a_{8}$과 $a_{9}$ 사이
④ $a_{10}$과 $a_{11}$ 사이
⑤ $a_{12}$와 $a_{13}$ 사이

14. 모든 실수에 대하여 정의된 함수 $f (x)$는 $f (x)=x^{2}$ ($-1 \le x \le 1$), $f (x+2) = f (x)$를 만족하는 주기함수이다. 좌표평면 위에서 각 자연수 $n$에 대하여 직선 $y= \dfrac{1}{2n} x+ \dfrac{1}{4n}$과 함수 $y=f (x)$의 그래프와의 교점의 개수를 $a_{n}$이라고 할 때, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{n}$의 값은?

① $0$
② $1$
③ $2$
④ $3$
⑤ $4$

15. 포물선 $y=(x-a)^{2} +b$ 위의 두 점 $P(s+a, s^{2} +b)$와 $Q (t+a, t^{2} +b)$에서 각각 그은 이 포물선의 접선은 서로 수직이다. 이 두 접선과 위 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $A$라고 하다. 다음 [보기] 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $s < 0 < t$)

 <보 기> 

ㄱ. $s$가 증가하면 $t$도 증가한다.
ㄴ. $a$가 증가하면 넓이 $A$도 증가한다.
ㄷ. $b$가 변하면 넓이 $A$도 변한다.

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ

16. ‘$12$진법의 모임’의 화원들은 자연수를 다음 표와 같이 대응하여 적는다고 한다.

10진법	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	$\cdots$
12진법	2	3	4	5	6	7	8	9	$x$	$y$	10	11	$\cdots$

진법 덧셈의 예를 들면 $1+9=x$, $x+y=19$이다. $12$진법의 두 수 $x x x$와 $y y y$의 합, $x x x + y y y$의 값을 $12$진법으로 표기한 것은?

① $1779$
② $2331$
③ $1 x x 9$
④ $1yy9$
⑤ $1 y y x$

17. 오른쪽 순서도는 부등식 $2^{n+1} < 9n^{4}$이 성립하지 않는 가장 작은 자연수 $n$를 찾기 위해 작성하였다. 오른쪽 순서도에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

① $S \leftarrow S+2$, $S \ge 9N^{4}$, $N+1$을 인쇄
② $S \leftarrow S \times 2$, $S < 9N^{4}$, $N$을 인쇄
③ $S \leftarrow S \times 2$, $S < 9N^{4}$, $N+1$을 인쇄
④ $S \leftarrow S \times 2$, $S \ge 9N^{4}$, $N$을 인쇄
⑤ $S \leftarrow S \times 2$, $S \ge 9N^{4}$, $N+1$을 인쇄

18. 다음은 명제 ‘$x^{2} +y^{2} +z^{2} =1111$을 만족하는 $\fbox{　㉮　}$’에 대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.

 <증 명> 

$\cdots생략\cdots$
정수 $x$, $y$, $z$를 각각 $8$로 나누면 나머지가 각각 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ 중 하나이다. 따라서 $x^{2}$, $y^{2}$, $z^{2}$을 각각 $8$로 나누면 나머지가 $0$, $1$, $4$ 중 하나이다. 그러므로 $x^{2} +y^{2} +z^{2}$을 $8$로 나누었을 때, 나머지는 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ 중 하나이다. 그런데 $1111$을 $8$로 나누면 나머지가 $7$이다.
$\cdots생략\cdots$

다음 중 위의 $\fbox{　㉮　}$에 알맞은 것은?

① $x$, $y$, $z$ 중 적어도 하나는 정수이다.
② $x$, $y$, $z$ 중 어느 것도 정수가 아니다.
③ $x$, $y$, $z$가 모두 정수인 해가 적어도 하나 있다.
④ $x$, $y$, $z$가 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.
⑤ $x$, $y$, $z$가 모두 정수인 해는 없다.

19. 오른쪽 그림에서 사각형 $ABCD$는 원에 내접하고 두 대각선 $AC$와 $BD$는 점 $P$에서 만나며 서로 수직이다. 또 점 $P$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $E$라고 하고 직선 $PE$와 변 $AD$가 만나는 점을 $F$라고 하자. 다음 중 여기에서 증명될 수 없는 것은?

① $\angle CBP= \angle PAD$
② $\angle APF= \angle PAF$
③ $\angle FPD= \angle FDP$
④ $\overline{AF} = \overline{FD}$
⑤ $\overline{AP} = \overline{AF}$

20. 구 $(x-1)^{2} +(y-2)^{2} +(z-3)^{2} =1$ 위의 점에서 평면 $x+y+z=10$에 이르는 거리의 최소값은?

① $\dfrac{3 \sqrt{3}}{3}$
② $\dfrac{4 \sqrt{3} -3}{3}$
③ $\dfrac{3 \sqrt{3} +2}{3}$
④ $\dfrac{2 \sqrt{3} +5}{3}$
⑤ $\dfrac{3 \sqrt{3} +5}{3}$

21. 2525년 여름쯤 2526년 $1$월의 계획을 세우려고 하는데, 그해(2525년) $1$월부터 $12$월까지의 달력은 있으나 새해(2526년) $1$월의 달력이 없다. 이 때, 2526년 $1$월의 달력과 요일 및 날짜가 같게 구성된 달을 2525년의 달력 중에서 찾으면?

① $3$월
② $5$월
③ $7$월
④ $8$월
⑤ 없다

22. 어느 원자의 전자들은 에너지의 증감에 따라 세 가지 상태 $a$, $b$, $c$로 바뀐다. 이 때, 다음 규칙이 적용된다고 하자.

규칙1 : 에너지가 증가하면 $b$상태의 전자는 $c$상태로 올라가고, $a$상태의 전자 중 일부는 $b$상태로, 나머지는 $c$상태로 올라간다.
규칙2 : 에너지가 감소하면 $b$상태의 전자는 $a$상태로 내려가고, $c$상태의 전자 중 일부는 $b$상태로, 나머지는 $a$상태로 내려간다.

[단계1]에서 전자는 $a$상태에 있다. 에너지가 증가하여 [단계2]가 되면 이 전자는 $b$상태 또는 $c$상태가 된다. 이 때, 이 전자가 취할 수 있는 변화의 경로는 $a \to b$와 $a \to c$의 $2$가지이다. 다시 에너지가 감소하여 [단계3]이 되면, 이 때까지의 가능한 변화 경로는 $a \to b \to a$, $a \to c \to b$, $a \to c \to a$의 $3$가지이다.

이와 같이 에너지의 증가와 감소가 교대로 계속될 때 [단계1]부터 [단계7]까지 이 전자의 가능한 변화 경로의 수는?

① $18$
② $19$
③ $20$
④ $21$
⑤ $22$

23. 그림과 같이 높이가 $100$cm이고 윗면은 반지름이 $50$cm, 아랫면은 반지름이 $30$cm인 원으로 된 원뿔대 모양의 물통에 물이 가득차 있었다. 이 물통의 바닥에 구멍이 나서 바닥에서부터 수면까지의 높이가 $h$cm일 때, 매초 $4 \sqrt{h}\text{cm}^{3}$의 양으로 물이 새어 나가고 있다. $h=50$일 때 높이의 순간변화율은? (단위는 cm/sec)

① $- \dfrac{20 \sqrt{2}}{\pi} \times 10^{-2}$
② $- \dfrac{5 \sqrt{2}}{\pi} \times 10^{-2}$
③ $- \dfrac{20 \sqrt{2}}{9 \pi} \times 10^{-2}$
④ $- \dfrac{5 \sqrt{2}}{4 \pi} \times 10^{-2}$
⑤ $- \dfrac{4 \sqrt{2}}{5 \pi} \times 10^{-2}$

24. 오른쪽 그림과 같은 직원뿔 모양의 산이 있다. $A$지점을 출발하여 산을 한 바퀴 돌아 $B$지점으로 가는 관광 열차의 궤도를 최단거리로 놓으면, 이 궤도는 처음에는 오르막길이지만 나중에는 내리막길이 된다. 이 내리막길의 길이는?

① $\dfrac{200}{\sqrt{19}}$
② $\dfrac{300}{\sqrt{30}}$
③ $\dfrac{300}{\sqrt{91}}$
④ $\dfrac{400}{\sqrt{91}}$
⑤ $\dfrac{300}{\sqrt{19}}$

25. 정사각형 모양의 타일이 좌표평면에 그림과 같이 가로, 세로가 각각 $x$축, $y$축과 일치되게 놓여 있다. 이 타일에 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프를 경계로 하여 파랑색과 노랑색을 칠하려고 한다. 파랑색과 노랑색이 칠해지는 부분의 면적의 비가 $2 : 3$일 때, $\displaystyle\int_{0}^{15} f(x)dx$의 값을 구하여라. (단, 함수 $g(x)$는 $f(x)$의 역함수이다.)

26. 함수 $f(x)= \begin{cases}\dfrac{71}{5} - \dfrac{19}{15} x&(x < 12)\\1-2\log_{3} (x-9)&(x \ge 12)\end{cases}$의 역함수를 $g(x)$라고 할 때, $$(g \circ g \circ g \circ g \circ g) (x) = -3$$을 만족하는 $x$의 값을 구하여라. (단, $(g \circ g)(x)=g(g(x))$이다.)

27. 그림에서 $\square ABCD$의 각 변의 길이는 정수이고 $\overline{AD} =2$, $\overline{CD} =6$, $\angle A= \angle C=90˚$이다. 이 사각형 둘레의 최대 길이를 구하여라.

28. 집합 $A= \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$의 네 원소를 배열하여 만든 순열 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})$에 대하여 각 숫자 $a_{k}$의 오른쪽에 있는 수 중에서 $a_{k}$보다 작은 것들의 개수를 $s_{k}$ ($k=1$, $2$, $3$)이라고 하고 이 들의 합 $s_{1} +s_{2} +s_{3}$을 $| (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) |$로 나타내다. 예를 들면 $|(2, 4, 3, 1)|=s_{1} +s_{2} +s_{3}=1+2+1=4$이다.
집합 $A$에 대한 $24$개의 모든 순열 $(i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4})$마다 각각 정해지는 $| (i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}) |$의 총합을 구하여라.

29. 두 방정식 $P(x)=0$, $Q(x)=0$의 서로 다른 실근은 각각 $7$개, $9$개이고 집합 $$A= \left\{ (x, y) \,|\,P(x)Q(y)=0\text{이고 $Q(x)P(y)=0$이고, $x$, $y$는 실수}\right\}$$는 무한집합이다. 집합 $A$의 부분집합 $$B= \left\{ (x, y) \,|\,(x, y) \in A\text{이고 $x=y$}\right\}$$의 원소의 개수를 $n(B)$라고 하면 이것은 $P(x)$, $Q(x)$에 따라 변한다. $n(B)$의 최대값을 구하여라.

30. $\log_{10} 275$의 값을 $\log_{10} 2=0.301$, $\log_{10} 11=1.041$로 계산한 다음 소수 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하여라.