고3/수학

1997-11 고3 수능 수학(자연계)

고인도르 2023. 2. 7. 09:30
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1998학년도 대학수학능력시험 수학(자연계)

시행 : 1997.11.19(수)

대상 : 고등학교 3학년

출제 : 교육과정평가원

1997-11 고3 수능 2수학(자연계)[문제].pdf
0.43MB
1997-11 고3 수능 2수학(자연계)[정답].pdf
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1997-11 고3 수능 2수학(자연계)[해설].pdf
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1. (1252752)÷{5+(3050)÷(4)}\left( 125^{2} -75^{2} \right) \div \left\{ 5+(30-50)\div (-4) \right\}의 값은?

7575
125125
900900
10001000
12251225

2. α=2+i\alpha =-2+i, β=12i\beta =1-2i일 때, αα+αβ+αβ+ββ\alpha \overline{\alpha} + \overline{\alpha} \beta + \alpha \overline{\beta} + \beta \overline{\beta}의 값은? (단, α\overline{\alpha}, β\overline{\beta}는 각각 α\alpha, β\beta 의 켤레 복소수이고 i=1i= \sqrt{-1}이다.)

11
22
44
1010
2020

3. 두 벡터 a\overrightarrow{a}, b\overrightarrow{b}가 이루는 각이 60˚60˚이다. b\overrightarrow{b}의 크기는 11이고, a3b\overrightarrow{a} -3 \overrightarrow{b}의 크기가 13\sqrt{13}일 때, a\overrightarrow{a}의 크기는?

11
33
44
55
77

4. limx0sin(3x3+5x2+4x)2x3+2x2+x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (3x^{3} +5x^{2} +4x)}{2x^{3} +2x^{2} +x}의 값은?

44
33
32\dfrac{3}{2}
11
sin32\dfrac{\sin 3}{2}

5. 전체집합 UU의 두 부분집합 AA, BB에 대하여 AB=(AB)(AB)cA\ast B=(A \cap B) \cup (A \cup B)^{c}라고 정의할 때, 항상 성립한다고 할 수 없는 것은? (단, UϕU \ne \phi )

AU=UA\ast U=U
AB=BAA\ast B=B\ast A
Aϕ=AcA\ast \phi =A^{c}
AB=AcBcA\ast B=A^{c} \ast B^{c}
AAc=ϕA\ast A^{c} = \phi

6. 어떤 일차변환은 점 P(2,0)P(2, 0)을 점 Q(12,12)Q \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)로, 점 R(0,2)R(0, 2)를 점 S(12,12)S \left( - \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)로 옮긴다. 이 일차변환을 나타내는 행렬을 AA라고 하자. A4(11)=(ab)A^{4} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}일 때, a+bi1+i\dfrac{a+bi}{1+i}의 값은? (단, i=1i= \sqrt{-1} )

116- \dfrac{1}{16}
28\dfrac{\sqrt{2}}{8}
116i\dfrac{1}{16} i
2+i8\dfrac{\sqrt{2} +i}{8}
1+216\dfrac{-1+ \sqrt{2}}{16}

7. 다음 그림은 동일한 저항( ) 1010개가 연결된 회로이다. 이 회로와 연결 상태가 같은 것은?

8. 어느 청량 음료 회사의 연간 청량 음료 판매량은 그 해 여름의 평균 기온에 크게 좌우된다. 과거 자료에 따르면, 한 해의 판매 목표액을 달성할 확률은 그 해 여름의 평균과 비슷할 경우에 예년보다 높을 경우에 0.80.8, 예년보다 비슷할 경우에 0.60.6, 예년보다 낮을 경우에 0.30.3이다. 일기 예보에 따르면 내년 여름의 평균기온이 예년보다 높을 확률이 0.40.4, 예년과 비슷할 확률이 0.50.5, 예년보다 낮을 확률이 0.10.1이라고 한다. 이 회사가 내년에 판매 목표액을 달성할 확률은?

0.550.55
0.600.60
0.650.65
0.700.70
0.750.75

9. 포물선 y=x(x+1)y=x (x+1) 위에 점 A(1,0)A(-1, 0)이 있다. 점 PP가 점 AA에서 포물선을 따라 원점 OO로 한없이 가까이 갈 때, APO\angle APO의 크기의 극한값은?

90˚90˚
120˚120˚
135˚135˚
150˚150˚
180˚180˚

10. 다항식 P(x)P (x)가 다음 항등식을 만족한다. P(P(x)+x)=(P(x)+x)2(P(x)+x)+1P(P(x)+x)=(P(x)+x)^{2} -(P(x)+x)+1 이 때, 미분계수 P(0)P^{\prime} (0)의 값은?

2-2
1-1
00
11
22

11. 모든 실수 xx에 대하여 미분가능한 함수 f(x)f (x)가 다음 조건을 만족한다. f(1x)=1f(x)f (1-x)=1-f (x) 다음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은?

f(0)+f(1)=1f (0)+f (1)=1
f(0)=f(1)f^{\prime} (0)=f^{\prime} (1)
01f(x)dx=12\displaystyle\int_{0}^{1} f (x) d x=\dfrac{1}{2}
f(12)=12f \left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2}
f(0)=0f (0)=0

12. 연속확률변수 XX가 평균 mm, 표준편차 σ\sigma인 정규분포를 따를 때 XX의 확률밀도함수는 f(x)=12πσe12σ2(xm)2    (<x<)f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{- {{1}\over{2 \sigma^{2}}} (x-m)^{2}}\,\,\,\,(- \infty < x < \infty) 이다. 오른쪽의 표준정규분포표를 이용하여 46.62πe(x5)28dx\displaystyle\int_{4}^{6.6} \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} e^{- {{(x-5)^{2}}\over{8}}} dx의 근사값을 구하면?

zzP(0<Zz)P(0 < Z \le z)
0.10.10.03980.0398
0.20.20.07930.0793
0.30.30.11790.1179
0.40.40.15540.1554
0.50.50.19150.1915
0.60.60.22570.2257
0.70.70.25800.2580
0.80.80.28810.2881
0.90.90.31590.3159
1.01.00.34130.3413

0.11990.1199
0.38640.3864
0.68260.6826
0.95050.9505
1.91841.9184

13. 다음 그림과 같이 AABB가 직선 위를 따라 같은 방향으로 달린다. BBAA보다 200200m 앞에서 AA와 동시에 출발한다. AA의 출발점을 a1a_{1}, BB의 출발점을 a2a_{2}, AAa2a_{2}에 도달했을 때 BB의 위치를 a3a_{3}, AAa3a_{3}에 도달했을 때 BB의 위치를 a4a_{4}라고 하자. 이와 같은 방법으로 계속하여 점 ana_{n} (n=1n=1, 22, 33, \cdots)을 정한다. AA의 속도가 BB의 속도의 22배이면, AABB 사이의 거리가 11m 이내가 되기 시작할 때 AA의 위치는?

a4a_{4}a5a_{5} 사이
a6a_{6}a7a_{7} 사이
a8a_{8}a9a_{9} 사이
a10a_{10}a11a_{11} 사이
a12a_{12}a13a_{13} 사이

14. 모든 실수에 대하여 정의된 함수 f(x)f (x)f(x)=x2f (x)=x^{2} (1x1-1 \le x \le 1), f(x+2)=f(x)f (x+2) = f (x)를 만족하는 주기함수이다. 좌표평면 위에서 각 자연수 nn에 대하여 직선 y=12nx+14ny= \dfrac{1}{2n} x+ \dfrac{1}{4n}과 함수 y=f(x)y=f (x)의 그래프와의 교점의 개수를 ana_{n}이라고 할 때, limnann\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{n}의 값은?

00
11
22
33
44

15. 포물선 y=(xa)2+by=(x-a)^{2} +b 위의 두 점 P(s+a,s2+b)P(s+a, s^{2} +b)Q(t+a,t2+b)Q (t+a, t^{2} +b)에서 각각 그은 이 포물선의 접선은 서로 수직이다. 이 두 접선과 위 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 AA라고 하다. 다음 [보기] 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, s<0<ts < 0 < t)

 <보 기> 
ㄱ. ss가 증가하면 tt도 증가한다.
ㄴ. aa가 증가하면 넓이 AA도 증가한다.
ㄷ. bb가 변하면 넓이 AA도 변한다.

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ

16. ‘1212진법의 모임’의 화원들은 자연수를 다음 표와 같이 대응하여 적는다고 한다.

10진법2345678910111213\cdots
12진법23456789xxyy1011\cdots

진법 덧셈의 예를 들면 1+9=x1+9=x, x+y=19x+y=19이다. 1212진법의 두 수 xxxx x xyyyy y y의 합, xxx+yyyx x x + y y y의 값을 1212진법으로 표기한 것은?

17791779
23312331
1xx91 x x 9
1yy91yy9
1yyx1 y y x

17. 오른쪽 순서도는 부등식 2n+1<9n42^{n+1} < 9n^{4}이 성립하지 않는 가장 작은 자연수 nn를 찾기 위해 작성하였다. 오른쪽 순서도에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

SS+2S \leftarrow S+2, S9N4S \ge 9N^{4}, N+1N+1을 인쇄
SS×2S \leftarrow S \times 2, S<9N4S < 9N^{4}, NN을 인쇄
SS×2S \leftarrow S \times 2, S<9N4S < 9N^{4}, N+1N+1을 인쇄
SS×2S \leftarrow S \times 2, S9N4S \ge 9N^{4}, NN을 인쇄
SS×2S \leftarrow S \times 2, S9N4S \ge 9N^{4}, N+1N+1을 인쇄

18. 다음은 명제 ‘x2+y2+z2=1111x^{2} +y^{2} +z^{2} =1111을 만족하는  ㉮ \fbox{ ㉮ }’에 대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.

 <증 명> 
생략\cdots생략\cdots
정수 xx, yy, zz를 각각 88로 나누면 나머지가 각각 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 중 하나이다. 따라서 x2x^{2}, y2y^{2}, z2z^{2}을 각각 88로 나누면 나머지가 00, 11, 44 중 하나이다. 그러므로 x2+y2+z2x^{2} +y^{2} +z^{2}88로 나누었을 때, 나머지는 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66 중 하나이다. 그런데 1111111188로 나누면 나머지가 77이다.
생략\cdots생략\cdots

다음 중 위의  ㉮ \fbox{ ㉮ }에 알맞은 것은?

xx, yy, zz 중 적어도 하나는 정수이다.
xx, yy, zz 중 어느 것도 정수가 아니다.
xx, yy, zz가 모두 정수인 해가 적어도 하나 있다.
xx, yy, zz가 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.
xx, yy, zz가 모두 정수인 해는 없다.

19. 오른쪽 그림에서 사각형 ABCDABCD는 원에 내접하고 두 대각선 ACACBDBD는 점 PP에서 만나며 서로 수직이다. 또 점 PP에서 변 BCBC에 내린 수선의 발을 EE라고 하고 직선 PEPE와 변 ADAD가 만나는 점을 FF라고 하자. 다음 중 여기에서 증명될 수 없는 것은?

CBP=PAD\angle CBP= \angle PAD
APF=PAF\angle APF= \angle PAF
FPD=FDP\angle FPD= \angle FDP
AF=FD\overline{AF} = \overline{FD}
AP=AF\overline{AP} = \overline{AF}

20. 구 (x1)2+(y2)2+(z3)2=1(x-1)^{2} +(y-2)^{2} +(z-3)^{2} =1 위의 점에서 평면 x+y+z=10x+y+z=10에 이르는 거리의 최소값은?

333\dfrac{3 \sqrt{3}}{3}
4333\dfrac{4 \sqrt{3} -3}{3}
33+23\dfrac{3 \sqrt{3} +2}{3}
23+53\dfrac{2 \sqrt{3} +5}{3}
33+53\dfrac{3 \sqrt{3} +5}{3}

21. 2525년 여름쯤 2526년 11월의 계획을 세우려고 하는데, 그해(2525년) 11월부터 1212월까지의 달력은 있으나 새해(2526년) 11월의 달력이 없다. 이 때, 2526년 11월의 달력과 요일 및 날짜가 같게 구성된 달을 2525년의 달력 중에서 찾으면?

33
55
77
88
⑤ 없다

22. 어느 원자의 전자들은 에너지의 증감에 따라 세 가지 상태 aa, bb, cc로 바뀐다. 이 때, 다음 규칙이 적용된다고 하자.

규칙1 : 에너지가 증가하면 bb상태의 전자는 cc상태로 올라가고, aa상태의 전자 중 일부는 bb상태로, 나머지는 cc상태로 올라간다.
규칙2 : 에너지가 감소하면 bb상태의 전자는 aa상태로 내려가고, cc상태의 전자 중 일부는 bb상태로, 나머지는 aa상태로 내려간다.

[단계1]에서 전자는 aa상태에 있다. 에너지가 증가하여 [단계2]가 되면 이 전자는 bb상태 또는 cc상태가 된다. 이 때, 이 전자가 취할 수 있는 변화의 경로는 aba \to baca \to c22가지이다. 다시 에너지가 감소하여 [단계3]이 되면, 이 때까지의 가능한 변화 경로는 abaa \to b \to a, acba \to c \to b, acaa \to c \to a33가지이다.

이와 같이 에너지의 증가와 감소가 교대로 계속될 때 [단계1]부터 [단계7]까지 이 전자의 가능한 변화 경로의 수는?

1818
1919
2020
2121
2222

23. 그림과 같이 높이가 100100cm이고 윗면은 반지름이 5050cm, 아랫면은 반지름이 3030cm인 원으로 된 원뿔대 모양의 물통에 물이 가득차 있었다. 이 물통의 바닥에 구멍이 나서 바닥에서부터 수면까지의 높이가 hhcm일 때, 매초 4hcm34 \sqrt{h}\text{cm}^{3}의 양으로 물이 새어 나가고 있다. h=50h=50일 때 높이의 순간변화율은? (단위는 cm/sec)

202π×102- \dfrac{20 \sqrt{2}}{\pi} \times 10^{-2}
52π×102- \dfrac{5 \sqrt{2}}{\pi} \times 10^{-2}
2029π×102- \dfrac{20 \sqrt{2}}{9 \pi} \times 10^{-2}
524π×102- \dfrac{5 \sqrt{2}}{4 \pi} \times 10^{-2}
425π×102- \dfrac{4 \sqrt{2}}{5 \pi} \times 10^{-2}

24. 오른쪽 그림과 같은 직원뿔 모양의 산이 있다. AA지점을 출발하여 산을 한 바퀴 돌아 BB지점으로 가는 관광 열차의 궤도를 최단거리로 놓으면, 이 궤도는 처음에는 오르막길이지만 나중에는 내리막길이 된다. 이 내리막길의 길이는?

20019\dfrac{200}{\sqrt{19}}
30030\dfrac{300}{\sqrt{30}}
30091\dfrac{300}{\sqrt{91}}
40091\dfrac{400}{\sqrt{91}}
30019\dfrac{300}{\sqrt{19}}

25. 정사각형 모양의 타일이 좌표평면에 그림과 같이 가로, 세로가 각각 xx축, yy축과 일치되게 놓여 있다. 이 타일에 y=f(x)y=f(x)y=g(x)y=g(x)의 그래프를 경계로 하여 파랑색과 노랑색을 칠하려고 한다. 파랑색과 노랑색이 칠해지는 부분의 면적의 비가 2:32 : 3일 때, 015f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{15} f(x)dx의 값을 구하여라. (단, 함수 g(x)g(x)f(x)f(x)의 역함수이다.)

26. 함수 f(x)={7151915x(x<12)12log3(x9)(x12)f(x)= \begin{cases}\dfrac{71}{5} - \dfrac{19}{15} x&(x < 12)\\1-2\log_{3} (x-9)&(x \ge 12)\end{cases}의 역함수를 g(x)g(x)라고 할 때, (ggggg)(x)=3(g \circ g \circ g \circ g \circ g) (x) = -3을 만족하는 xx의 값을 구하여라. (단, (gg)(x)=g(g(x))(g \circ g)(x)=g(g(x))이다.)

27. 그림에서 ABCD\square ABCD의 각 변의 길이는 정수이고 AD=2\overline{AD} =2, CD=6\overline{CD} =6, A=C=90˚\angle A= \angle C=90˚이다. 이 사각형 둘레의 최대 길이를 구하여라.

28. 집합 A={1,2,3,4}A= \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}의 네 원소를 배열하여 만든 순열 (a1,a2,a3,a4)(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})에 대하여 각 숫자 aka_{k}의 오른쪽에 있는 수 중에서 aka_{k}보다 작은 것들의 개수를 sks_{k} (k=1k=1, 22, 33)이라고 하고 이 들의 합 s1+s2+s3s_{1} +s_{2} +s_{3}(a1,a2,a3,a4)| (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) |로 나타내다. 예를 들면 (2,4,3,1)=s1+s2+s3=1+2+1=4|(2, 4, 3, 1)|=s_{1} +s_{2} +s_{3}=1+2+1=4이다.
집합 AA에 대한 2424개의 모든 순열 (i1,i2,i3,i4)(i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4})마다 각각 정해지는 (i1,i2,i3,i4)| (i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}) |의 총합을 구하여라.

29. 두 방정식 P(x)=0P(x)=0, Q(x)=0Q(x)=0의 서로 다른 실근은 각각 77개, 99개이고 집합 A={(x,y)P(x)Q(y)=0이고 Q(x)P(y)=0이고, xy는 실수}A= \left\{ (x, y) \,|\,P(x)Q(y)=0\text{이고 Q(x)P(y)=0Q(x)P(y)=0이고, xx, yy는 실수}\right\}는 무한집합이다. 집합 AA의 부분집합 B={(x,y)(x,y)A이고 x=y}B= \left\{ (x, y) \,|\,(x, y) \in A\text{이고 x=yx=y}\right\}의 원소의 개수를 n(B)n(B)라고 하면 이것은 P(x)P(x), Q(x)Q(x)에 따라 변한다. n(B)n(B)의 최대값을 구하여라.

30. log10275\log_{10} 275의 값을 log102=0.301\log_{10} 2=0.301, log1011=1.041\log_{10} 11=1.041로 계산한 다음 소수 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하여라.