1993-08 고3 1차 수능 수학

1994학년도 제1차 대학수학능력시험 수학

시행 : 1993.08.20(금)

대상 : 고등학교 3학년

출제 : 교육과정평가원

1993-08 고3 1차 수능 2수학[문제].pdf

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1993-08 고3 1차 수능 2수학[정답].pdf

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1993-08 고3 1차 수능 2수학[해설].pdf

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1. $a$, $x$, $y$가 양의 실수이고 $A=\log_{a} \dfrac{x^{2}}{y^{3}}$, $B=\log_{a} \dfrac{y^{2}}{x^{3}}$일 때, $3A+2B$와 같은 값은? (단, $a \ne 1$)

① $\log_{a} \dfrac{1}{x^{5}}$
② $\log_{a} \dfrac{1}{y^{5}}$
③ $\log_{a} \dfrac{1}{xy}$
④ $\log_{a} \dfrac{x^{5}}{y^{5}}$
⑤ $\log_{a} \dfrac{x^{5}}{y^{7}}$

2. 다항함수 $f (x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n \left\{ f \left(a+ \dfrac{b}{n} \right)-f \left(a- \dfrac{b}{n} \right) \right\}$의 값은? (단, $b \ne 0$)

① $\dfrac{1}{b} f^{\prime} (a)$
② $0$
③ $f^{\prime} (a)$
④ $b f^{\prime} (a)$
⑤ $2b f^{\prime} (a)$

3. 행렬 $A$, $B$는 역행렬을 갖는 $2$차의 정사각행렬이다. 다음 중 옳지 않은 것은?

① $\left( A^{2} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{2}$
② $\left( B^{-1} AB \right)^{2} =B^{-1} A^{2} B$
③ $A^{2} =B^{2}$이면 $A=B$ 또는 $A=-B$이다.
④ $A^{-1} (A+B)B^{-1} =A^{-1} +B^{-1}$
⑤ $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$이면 $x=y=0$이다.

4. 고대 이집트의 수학 문헌인 아메스 파피루스(기원전 $1650$경)에는 다음과 같은 문제가 기록되어 있다.

다섯 사람에게 $120$개의 빵을 나누어 주는데 각자의 배당몫이 등차수열을 이루고, 가장 적게 배당 받는 사람과 그 다음으로 적게 배당 받는 사람의 몫의 합이 나머지 세 사람 몫의 합의 $\dfrac{1}{7}$이 되도록 하라.

위와 같이 빵을 나누어 줄 때, 가장 많이 배당 받는 사람의 몫은?

① $52$
② $50$
③ $48$
④ $46$
⑤ $44$

5. 두 다항식 $(1+x+x^{2} +x^{3} )^{3}$, $(1+x+x^{2} +x^{3} +x^{4} )^{3}$의 $x^{3}$의 계수를 각각 $a$, $b$라할 때, $a-b$의 값은?

① $4^{3} -5^{3}$
② $3^{3} -3^{4}$
③ $0$
④ $1$
⑤ $-1$

6. 두 함수 $f (x)$와 $g (x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 $f (x) g (x)=0$을 만족시킨다. 두 집합 $A= \left\{ x \,|\, f (x)=0 \right\}$, $B= \left\{ x \,|\, g (x)=0 \right\}$에 대한 다음 설명 중 옳은 것은?

① $A$와 $B$는 모두 무한집합이다.
② $A$와 $B$는 모두 유한집합이다.
③ $A$가 유한집합이면 $B$는 무한집합이다.
④ $A$가 무한집합이면 $B$는 유한집합이다.
⑤ $A$가 무한집합이면 $B$는 무한집합이다.

7. 두 함수 $y=f (x)$와 $y=g (x)$의 그래프가 각각 아래 그림과 같다. 다음 중 $y=(g \circ f )(x)$의 그래프의 개형은?

8. 삼차방정식 $x^{3} +ax^{2} +bx-3=0$의 한 근이 $1+ \sqrt{2} i$일 때, 두 실수 $a$, $b$의 곱 $ab$는? (단, $i= \sqrt{-1}$)

① $10$
② $5$
③ $0$
④ $-15$
⑤ $-10$

9. 자연수 $n$ ($n \ge 4$)에 대하여 $A_{n} = \left\{ x \,|\, x \text{는 한 변의 길이가 $1$인 정$n$각형의 대각선의 길이} \right\}$라 하고, $a_{n}$을 집합 $A_{n}$의 원소의 개수라 하자. 예를 들어 $a_{4} =1$이다. 이 때, $\displaystyle\sum_{n=4}^{25} a_{n}$의 값은?

① $140$
② $138$
③ $136$
④ $134$
⑤ $132$

10. 아래 그림과 같이 도로망이 있다. $A$지점에서 자동차가 출발하여 $B$지점까지 최단거리로 갈 때, 우회전하는 회수를 $a$, 좌회전하는 회수를 $b$라 하자. 다음 설명 중 항상 옳은 것은?

① $a$는 짝수이다.
② $b$는 홀수이다.
③ $a$가 짝수이면 $b$는 짝수이다.
④ $a$가 짝수이면 $b$는 홀수이다.
⑤ $a$가 홀수이면 $b$는 홀수이다.

11. 모든 실수에서 정의된 함수 $f (x)$가 다음 세 가지 조건을 모두 만족시킨다.

ㄱ. $f (x)$는 연속함수이고 $f (x)=f (-x)$이다.
ㄴ. $|x | > 5$이면 $f (x)=0$이다.
ㄷ. $|x | < 5$이면 $|f (x) | \le 10$이고 $f (x)=10$이 되는 $x$는 오직 한 개 있다.

다음 중 옳지 않은 것은?

① $f (5)=f (-5)=0$이다.
② $f (x)$는 $x=0$일 때 최대이다.
③ $f (x)=5$가 되는 $x$는 두 개 이상 있다.
④ $f (x)$가 최소가 되는 $x$는 오직 한 개 있다.
⑤ 모든 실수 $x$에 대하여 $f (x+5)f (x-5)=0$이다.

12. 집합 $P$는 실수 전체의 집합의 부분집합으로서 다음 성질 (A)와 (B)를 갖는다.

(A) 임의의 실수 $a$에 대하여 $a \in P$, $a=0$, $-a \in P$ 중 적어도 하나는 성립하지만 두 가지 이상은 동시에 성립하지 않는다.
(B) $a \in P$이고 $b \in P$이면 $a b \in P$이다.

다음은 위의 성질을 이용하여 “$a \in P$이면 $\dfrac{1}{a} \in P$이다.”를 증명한 것이다.

 <증 명> 

가정에서 $a \in P$이므로 (A)에 의해 $a \ne 0$이다.
따라서, 실수 $\dfrac{1}{a}$은 $0$이 아니므로 $\fbox{　㈎　}$에 의하여
$\dfrac{1}{a} \in P$ 또는 $- \dfrac{1}{a} \in P$이다.
$- \dfrac{1}{a} \in P$인 경우에는 $\fbox{　㈏　}$와 가정에 의하여
$-1=a \times \left( - \dfrac{1}{a} \right) \in P$이다.
그런데, $-1 \in P$라면 (B)에 의하여
$1=(-1) \times (-1) \in P$가 되어 $\fbox{　㈐　}$에 모순이다.
따라서, $\dfrac{1}{a} \in P$이다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① (A), (B), (A)
② (A), (B), (B)
③ (B), (A), (A)
④ (A), (A), (B)
⑤ (B), (A), (B)

13. 좌표평면 위의 원 $(x-1)^{2} +(y-2)^{2} =r^{2}$과 원 밖의 점 $A(5, 4)$가 있다. 점 $A$에서 원에 그은 접선이 서로 수직일 때, 반지름의 길이 $r$의 값은?

① $\sqrt{10}$
② $\sqrt{11}$
③ $\sqrt{12}$
④ $\sqrt{13}$
⑤ $\sqrt{14}$

14. 좌표평면 위의 두 점 $A(x_{1}, y_{1} )$, $B(x_{2}, y_{2} )$를 이은 선분 $AB$를 $4 : 3$으로 내분하는 점과 외분하는 점의 좌표를 각각 $C (x_{3}, y_{3} )$과 $D(x_{4}, y_{4} )$라 하자. 이 때, $X\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&y_{4}\end{pmatrix}$를 항상 만족시키는 $2$차의 정사각행렬 $X$를 구하면?

① $\begin{pmatrix}\dfrac{4}{7}&\dfrac{3}{7}\\-3&4\end{pmatrix}$
② $\begin{pmatrix}\dfrac{4}{7}&\dfrac{3}{7}\\4&-3\end{pmatrix}$
③ $\begin{pmatrix}\dfrac{3}{7}&-3\\\dfrac{4}{7}&4\end{pmatrix}$
④ $\begin{pmatrix}\dfrac{3}{7}&\dfrac{4}{7}\\3&-4\end{pmatrix}$
⑤ $\begin{pmatrix}\dfrac{3}{7}&\dfrac{4}{7}\\-3&4\end{pmatrix}$

15. 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 $1$인 정사각뿔이 있다. 모서리 $EC$ 위를 움직이는 점 $P$에 대하여 $\angle BPD= \theta $라 할 때, $\cos \theta $의 최대값과 최소값의 합은?

① $- \dfrac{1}{3}$
② $- \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
③ $0$
④ $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
⑤ $\dfrac{1}{3}$

16. 아래와 같이 나열된 $55$개의 수를 모두 더하면?

$1$
$2$ $4$
$3$ $6$ $9$
$4$ $8$ $12$ $16$
$5$ $10$ $15$ $20$ $25$
$6$ $12$ $18$ $24$ $30$ $36$
$7$ $14$ $21$ $28$ $35$ $42$ $49$
$8$ $16$ $24$ $32$ $40$ $48$ $56$ $64$
$9$ $18$ $27$ $36$ $45$ $54$ $63$ $72$ $81$
$10$ $20$ $30$ $40$ $50$ $60$ $70$ $80$ $90$ $100$

① $1755$
② $1705$
③ $1655$
④ $1605$
⑤ $1555$

17. 좌표평면에서 세 부등식 $3x+4y-16 < 0$, $3x-4y+10 > 0$, $y > 0$을 동시에 만족시키는 영역에 속하는 점 중에서 이 영역의 경계를 이루는 세 선분과의 거리가 모두 자연수인 점의 개수는?

① $0$
② $1$
③ $3$
④ $5$
⑤ $7$

18. 두 자동차 A, B가 같은 지점에서 동시에 출발하여 직선 도로를 한 방향으로만 달리고 있다. $t$초 동안 A, B가 움직인 거리는 각각 미분 가능한 함수 $f (t )$, $g (t )$로 주어지고 다음이 성립한다고 한다.

㈎ $f (20) = g (20)$
㈏ $10 \le t \le 30$에서 $f^{\prime} (t ) < g^{\prime} (t )$

이로부터 $10 \le t \le 30$에서의 A와 B의 위치에 관한 다음 설명 중 옳은 것은?

① B가 항상 A의 앞에 있다.
② A가 항상 B의 앞에 있다.
③ B가 A를 한 번 추월한다.
④ A가 B를 한 번 추월한다.
⑤ A가 B를 추월한 후 B가 다시 A를 추월한다.

19. 지름의 길이가 $300$m인 원 모양의 땅에 둘레의 길이가 $800$m인 직사각형 모양의 경기장을 만들려고 한다. 이 경기장의 넓이가 최소가 되게 하는 직사각형의 가로와 세로의 길이의 차는 몇 m인가?

① $100 \sqrt{3}$
② $100 \sqrt{2}$
③ $50 \sqrt{2}$
④ $50 \sqrt{3}$
⑤ $100$

20. $1993$년 우리 나라의 교육 예산은 GNP의 $3.7\%$ 수준이라고 한다. $1993$년부터 $1998$년까지의 우리 나라의 GNP성장률이 매년 $7\%$라고 가정할 때, $1998$년에 교육 예산이 GNP의 $5\%$가 되도록 하려면 앞으로 $5$년 동안 교육 예산을 매년 몇 $\%$씩 증가시켜야 하는가? ($\log 3.7 = 0.5682$, $\log5 = 0.6990$, $\log7 = 0.8451$)

상용로그표

수	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	비례부분
											$1$ $2$ $3$	$4$ $5$ $6$	$7$ $8$ $9$
$1.0$	$.0000$	$.0043$	$.0086$	$.0128$	$.0170$	$.0212$	$.0253$	$.0294$	$.0334$	$.0374$	$4$ $8$ $12$	$17$ $21$ $25$	$29$ $33$ $37$
$1.1$	$.0414$	$.0453$	$.0492$	$.0531$	$.0569$	$.0607$	$.0645$	$.0682$	$.0719$	$.0755$	$4$ $8$ $11$	$15$ $19$ $23$	$26$ $30$ $34$
$1.2$	$.0792$	$.0828$	$.0864$	$.0899$	$.0934$	$.0969$	$.1004$	$.1038$	$.1072$	$.1106$	$3$ $7$ $10$	$14$ $17$ $21$	$24$ $28$ $31$
$1.3$	$.1139$	$.1173$	$.1206$	$.1239$	$.1271$	$.1303$	$.1335$	$.1335$	$.1399$	$.1430$	$3$ $6$ $10$	$13$ $16$ $19$	$23$ $26$ $29$
$1.4$	$.1461$	$.1492$	$.1523$	$.1553$	$.1584$	$.1614$	$.1644$	$.1644$	$.1703$	$.1732$	$3$ $6$ $9$	$12$ $15$ $18$	$21$ $24$ $27$

① 약 $10.7\%$
② 약 $11.7\%$
③ 약 $12.7\%$
④ 약 $13.7\%$
⑤ 약 $14.7\%$