고3/수학

1993-08 고3 1차 수능 수학

고인도르 2023. 2. 5. 18:28
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1994학년도 제1차 대학수학능력시험 수학

시행 : 1993.08.20(금)

대상 : 고등학교 3학년

출제 : 교육과정평가원

1993-08 고3 1차 수능 2수학[문제].pdf
0.34MB
1993-08 고3 1차 수능 2수학[정답].pdf
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1993-08 고3 1차 수능 2수학[해설].pdf
0.14MB


삽화, 사진, 표는 누락되어 있습니다. 원본 파일을 참고하시기 바랍니다.

1. aa, xx, yy가 양의 실수이고 A=logax2y3A=\log_{a} \dfrac{x^{2}}{y^{3}}, B=logay2x3B=\log_{a} \dfrac{y^{2}}{x^{3}}일 때, 3A+2B3A+2B와 같은 값은? (단, a1a \ne 1)

loga1x5\log_{a} \dfrac{1}{x^{5}}
loga1y5\log_{a} \dfrac{1}{y^{5}}
loga1xy\log_{a} \dfrac{1}{xy}
logax5y5\log_{a} \dfrac{x^{5}}{y^{5}}
logax5y7\log_{a} \dfrac{x^{5}}{y^{7}}

2. 다항함수 f(x)f (x)에 대하여 limnn{f(a+bn)f(abn)}\displaystyle\lim_{n\to\infty} n \left\{ f \left(a+ \dfrac{b}{n} \right)-f \left(a- \dfrac{b}{n} \right) \right\}의 값은? (단, b0b \ne 0)

1bf(a)\dfrac{1}{b} f^{\prime} (a)
00
f(a)f^{\prime} (a)
bf(a)b f^{\prime} (a)
2bf(a)2b f^{\prime} (a)

3. 행렬 AA, BB는 역행렬을 갖는 22차의 정사각행렬이다. 다음 중 옳지 않은 것은?

(A2)1=(A1)2\left( A^{2} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{2}
(B1AB)2=B1A2B\left( B^{-1} AB \right)^{2} =B^{-1} A^{2} B
A2=B2A^{2} =B^{2}이면 A=BA=B 또는 A=BA=-B이다.
A1(A+B)B1=A1+B1A^{-1} (A+B)B^{-1} =A^{-1} +B^{-1}
A(xy)=(00)A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}이면 x=y=0x=y=0이다.

4. 고대 이집트의 수학 문헌인 아메스 파피루스(기원전 16501650경)에는 다음과 같은 문제가 기록되어 있다.

다섯 사람에게 120120개의 빵을 나누어 주는데 각자의 배당몫이 등차수열을 이루고, 가장 적게 배당 받는 사람과 그 다음으로 적게 배당 받는 사람의 몫의 합이 나머지 세 사람 몫의 합의 17\dfrac{1}{7}이 되도록 하라.

위와 같이 빵을 나누어 줄 때, 가장 많이 배당 받는 사람의 몫은?

5252
5050
4848
4646
4444

5. 두 다항식 (1+x+x2+x3)3(1+x+x^{2} +x^{3} )^{3}, (1+x+x2+x3+x4)3(1+x+x^{2} +x^{3} +x^{4} )^{3}x3x^{3}의 계수를 각각 aa, bb라할 때, aba-b의 값은?

43534^{3} -5^{3}
33343^{3} -3^{4}
00
11
1-1

6. 두 함수 f(x)f (x)g(x)g (x)는 모든 실수 xx에 대하여 f(x)g(x)=0f (x) g (x)=0을 만족시킨다. 두 집합 A={xf(x)=0}A= \left\{ x \,|\, f (x)=0 \right\}, B={xg(x)=0}B= \left\{ x \,|\, g (x)=0 \right\}에 대한 다음 설명 중 옳은 것은?

AABB는 모두 무한집합이다.
AABB는 모두 유한집합이다.
AA가 유한집합이면 BB는 무한집합이다.
AA가 무한집합이면 BB는 유한집합이다.
AA가 무한집합이면 BB는 무한집합이다.

7. 두 함수 y=f(x)y=f (x)y=g(x)y=g (x)의 그래프가 각각 아래 그림과 같다. 다음 중 y=(gf)(x)y=(g \circ f )(x)의 그래프의 개형은?

8. 삼차방정식 x3+ax2+bx3=0x^{3} +ax^{2} +bx-3=0의 한 근이 1+2i1+ \sqrt{2} i일 때, 두 실수 aa, bb의 곱 abab는? (단, i=1i= \sqrt{-1})

1010
55
00
15-15
10-10

9. 자연수 nn (n4n \ge 4)에 대하여 An={xx는 한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이}A_{n} = \left\{ x \,|\, x \text{는 한 변의 길이가 $1$인 정$n$각형의 대각선의 길이} \right\}라 하고, ana_{n}을 집합 AnA_{n}의 원소의 개수라 하자. 예를 들어 a4=1a_{4} =1이다. 이 때, n=425an\displaystyle\sum_{n=4}^{25} a_{n}의 값은?

140140
138138
136136
134134
132132

10. 아래 그림과 같이 도로망이 있다. AA지점에서 자동차가 출발하여 BB지점까지 최단거리로 갈 때, 우회전하는 회수를 aa, 좌회전하는 회수를 bb라 하자. 다음 설명 중 항상 옳은 것은?

aa는 짝수이다.
bb는 홀수이다.
aa가 짝수이면 bb는 짝수이다.
aa가 짝수이면 bb는 홀수이다.
aa가 홀수이면 bb는 홀수이다.

11. 모든 실수에서 정의된 함수 f(x)f (x)가 다음 세 가지 조건을 모두 만족시킨다.

ㄱ. f(x)f (x)는 연속함수이고 f(x)=f(x)f (x)=f (-x)이다.
ㄴ. x>5|x | > 5이면 f(x)=0f (x)=0이다.
ㄷ. x<5|x | < 5이면 f(x)10|f (x) | \le 10이고 f(x)=10f (x)=10이 되는 xx는 오직 한 개 있다.

다음 중 옳지 않은 것은?

f(5)=f(5)=0f (5)=f (-5)=0이다.
f(x)f (x)x=0x=0일 때 최대이다.
f(x)=5f (x)=5가 되는 xx는 두 개 이상 있다.
f(x)f (x)가 최소가 되는 xx는 오직 한 개 있다.
⑤ 모든 실수 xx에 대하여 f(x+5)f(x5)=0f (x+5)f (x-5)=0이다.

12. 집합 PP는 실수 전체의 집합의 부분집합으로서 다음 성질 (A)와 (B)를 갖는다.

(A) 임의의 실수 aa에 대하여 aPa \in P, a=0a=0, aP-a \in P 중 적어도 하나는 성립하지만 두 가지 이상은 동시에 성립하지 않는다.
(B) aPa \in P이고 bPb \in P이면 abPa b \in P이다.

다음은 위의 성질을 이용하여 “aPa \in P이면 1aP\dfrac{1}{a} \in P이다.”를 증명한 것이다.

 <증 명> 
가정에서 aPa \in P이므로 (A)에 의해 a0a \ne 0이다.
따라서, 실수 1a\dfrac{1}{a}00이 아니므로  ㈎ \fbox{ ㈎ }에 의하여
1aP\dfrac{1}{a} \in P 또는 1aP- \dfrac{1}{a} \in P이다.
1aP- \dfrac{1}{a} \in P인 경우에는  ㈏ \fbox{ ㈏ }와 가정에 의하여
1=a×(1a)P-1=a \times \left( - \dfrac{1}{a} \right) \in P이다.
그런데, 1P-1 \in P라면 (B)에 의하여
1=(1)×(1)P1=(-1) \times (-1) \in P가 되어  ㈐ \fbox{ ㈐ }에 모순이다.
따라서, 1aP\dfrac{1}{a} \in P이다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① (A), (B), (A)
② (A), (B), (B)
③ (B), (A), (A)
④ (A), (A), (B)
⑤ (B), (A), (B)

13. 좌표평면 위의 원 (x1)2+(y2)2=r2(x-1)^{2} +(y-2)^{2} =r^{2}과 원 밖의 점 A(5,4)A(5, 4)가 있다. 점 AA에서 원에 그은 접선이 서로 수직일 때, 반지름의 길이 rr의 값은?

10\sqrt{10}
11\sqrt{11}
12\sqrt{12}
13\sqrt{13}
14\sqrt{14}

14. 좌표평면 위의 두 점 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1} ), B(x2,y2)B(x_{2}, y_{2} )를 이은 선분 ABAB4:34 : 3으로 내분하는 점과 외분하는 점의 좌표를 각각 C(x3,y3)C (x_{3}, y_{3} )D(x4,y4)D(x_{4}, y_{4} )라 하자. 이 때, X(x1y1x2y2)=(x3y3x4y4)X\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&y_{4}\end{pmatrix}를 항상 만족시키는 22차의 정사각행렬 XX를 구하면?

(473734)\begin{pmatrix}\dfrac{4}{7}&\dfrac{3}{7}\\-3&4\end{pmatrix}
(473743)\begin{pmatrix}\dfrac{4}{7}&\dfrac{3}{7}\\4&-3\end{pmatrix}
(373474)\begin{pmatrix}\dfrac{3}{7}&-3\\\dfrac{4}{7}&4\end{pmatrix}
(374734)\begin{pmatrix}\dfrac{3}{7}&\dfrac{4}{7}\\3&-4\end{pmatrix}
(374734)\begin{pmatrix}\dfrac{3}{7}&\dfrac{4}{7}\\-3&4\end{pmatrix}

15. 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 11인 정사각뿔이 있다. 모서리 ECEC 위를 움직이는 점 PP에 대하여 BPD=θ\angle BPD= \theta 라 할 때, cosθ\cos \theta 의 최대값과 최소값의 합은?

13- \dfrac{1}{3}
36- \dfrac{\sqrt{3}}{6}
00
36\dfrac{\sqrt{3}}{6}
13\dfrac{1}{3}

16. 아래와 같이 나열된 5555개의 수를 모두 더하면?

11
22 44
33 66 99
44 88 1212 1616
55 1010 1515 2020 2525
66 1212 1818 2424 3030 3636
77 1414 2121 2828 3535 4242 4949
88 1616 2424 3232 4040 4848 5656 6464
99 1818 2727 3636 4545 5454 6363 7272 8181
1010 2020 3030 4040 5050 6060 7070 8080 9090 100100

17551755
17051705
16551655
16051605
15551555

17. 좌표평면에서 세 부등식 3x+4y16<03x+4y-16 < 0, 3x4y+10>03x-4y+10 > 0, y>0y > 0을 동시에 만족시키는 영역에 속하는 점 중에서 이 영역의 경계를 이루는 세 선분과의 거리가 모두 자연수인 점의 개수는?

00
11
33
55
77

18. 두 자동차 A, B가 같은 지점에서 동시에 출발하여 직선 도로를 한 방향으로만 달리고 있다. tt초 동안 A, B가 움직인 거리는 각각 미분 가능한 함수 f(t)f (t ), g(t)g (t )로 주어지고 다음이 성립한다고 한다.

f(20)=g(20)f (20) = g (20)
10t3010 \le t \le 30에서 f(t)<g(t)f^{\prime} (t ) < g^{\prime} (t )

이로부터 10t3010 \le t \le 30에서의 A와 B의 위치에 관한 다음 설명 중 옳은 것은?

① B가 항상 A의 앞에 있다.
② A가 항상 B의 앞에 있다.
③ B가 A를 한 번 추월한다.
④ A가 B를 한 번 추월한다.
⑤ A가 B를 추월한 후 B가 다시 A를 추월한다.

19. 지름의 길이가 300300m인 원 모양의 땅에 둘레의 길이가 800800m인 직사각형 모양의 경기장을 만들려고 한다. 이 경기장의 넓이가 최소가 되게 하는 직사각형의 가로와 세로의 길이의 차는 몇 m인가?

1003100 \sqrt{3}
1002100 \sqrt{2}
50250 \sqrt{2}
50350 \sqrt{3}
100100

20. 19931993년 우리 나라의 교육 예산은 GNP의 3.7%3.7\% 수준이라고 한다. 19931993년부터 19981998년까지의 우리 나라의 GNP성장률이 매년 7%7\%라고 가정할 때, 19981998년에 교육 예산이 GNP의 5%5\%가 되도록 하려면 앞으로 55년 동안 교육 예산을 매년 몇 %\%씩 증가시켜야 하는가? (log3.7=0.5682\log 3.7 = 0.5682, log5=0.6990\log5 = 0.6990, log7=0.8451\log7 = 0.8451)

상용로그표
00112233445566778899비례부분
11 22 3344 55 6677 88 99
1.01.0.0000.0000.0043.0043.0086.0086.0128.0128.0170.0170.0212.0212.0253.0253.0294.0294.0334.0334.0374.037444 88 12121717 2121 25252929 3333 3737
1.11.1.0414.0414.0453.0453.0492.0492.0531.0531.0569.0569.0607.0607.0645.0645.0682.0682.0719.0719.0755.075544 88 11111515 1919 23232626 3030 3434
1.21.2.0792.0792.0828.0828.0864.0864.0899.0899.0934.0934.0969.0969.1004.1004.1038.1038.1072.1072.1106.110633 77 10101414 1717 21212424 2828 3131
1.31.3.1139.1139.1173.1173.1206.1206.1239.1239.1271.1271.1303.1303.1335.1335.1335.1335.1399.1399.1430.143033 66 10101313 1616 19192323 2626 2929
1.41.4.1461.1461.1492.1492.1523.1523.1553.1553.1584.1584.1614.1614.1644.1644.1644.1644.1703.1703.1732.173233 66 991212 1515 18182121 2424 2727

① 약 10.7%10.7\%
② 약 11.7%11.7\%
③ 약 12.7%12.7\%
④ 약 13.7%13.7\%
⑤ 약 14.7%14.7\%