1. a, x, y가 양의 실수이고 A=logay3x2, B=logax3y2일 때, 3A+2B와 같은 값은? (단, a=1)
① logax51
② logay51
③ logaxy1
④ logay5x5
⑤ logay7x5
2. 다항함수 f(x)에 대하여 n→∞limn{f(a+nb)−f(a−nb)}의 값은? (단, b=0)
① b1f′(a)
② 0
③ f′(a)
④ bf′(a)
⑤ 2bf′(a)
3. 행렬 A, B는 역행렬을 갖는 2차의 정사각행렬이다. 다음 중 옳지 않은 것은?
① (A2)−1=(A−1)2
② (B−1AB)2=B−1A2B
③ A2=B2이면 A=B 또는 A=−B이다.
④ A−1(A+B)B−1=A−1+B−1
⑤ A(xy)=(00)이면 x=y=0이다.
4. 고대 이집트의 수학 문헌인 아메스 파피루스(기원전 1650경)에는 다음과 같은 문제가 기록되어 있다.
다섯 사람에게 120개의 빵을 나누어 주는데 각자의 배당몫이 등차수열을 이루고, 가장 적게 배당 받는 사람과 그 다음으로 적게 배당 받는 사람의 몫의 합이 나머지 세 사람 몫의 합의 71이 되도록 하라.
위와 같이 빵을 나누어 줄 때, 가장 많이 배당 받는 사람의 몫은?
① 52
② 50
③ 48
④ 46
⑤ 44
5. 두 다항식 (1+x+x2+x3)3, (1+x+x2+x3+x4)3의 x3의 계수를 각각 a, b라할 때, a−b의 값은?
① 43−53
② 33−34
③ 0
④ 1
⑤ −1
6. 두 함수 f(x)와 g(x)는 모든 실수 x에 대하여 f(x)g(x)=0을 만족시킨다. 두 집합 A={x∣f(x)=0}, B={x∣g(x)=0}에 대한 다음 설명 중 옳은 것은?
① A와 B는 모두 무한집합이다.
② A와 B는 모두 유한집합이다.
③ A가 유한집합이면 B는 무한집합이다.
④ A가 무한집합이면 B는 유한집합이다.
⑤ A가 무한집합이면 B는 무한집합이다.
7. 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프가 각각 아래 그림과 같다. 다음 중 y=(g∘f)(x)의 그래프의 개형은?
8. 삼차방정식 x3+ax2+bx−3=0의 한 근이 1+2i일 때, 두 실수 a, b의 곱 ab는? (단, i=−1)
① 10
② 5
③ 0
④ −15
⑤ −10
9. 자연수 n (n≥4)에 대하여 An={x∣x는한변의길이가 1인정n각형의대각선의길이}라 하고, an을 집합 An의 원소의 개수라 하자. 예를 들어 a4=1이다. 이 때, n=4∑25an의 값은?
① 140
② 138
③ 136
④ 134
⑤ 132
10. 아래 그림과 같이 도로망이 있다. A지점에서 자동차가 출발하여 B지점까지 최단거리로 갈 때, 우회전하는 회수를 a, 좌회전하는 회수를 b라 하자. 다음 설명 중 항상 옳은 것은?
① a는 짝수이다.
② b는 홀수이다.
③ a가 짝수이면 b는 짝수이다.
④ a가 짝수이면 b는 홀수이다.
⑤ a가 홀수이면 b는 홀수이다.
11. 모든 실수에서 정의된 함수 f(x)가 다음 세 가지 조건을 모두 만족시킨다.
ㄱ. f(x)는 연속함수이고 f(x)=f(−x)이다.
ㄴ. ∣x∣>5이면 f(x)=0이다.
ㄷ. ∣x∣<5이면 ∣f(x)∣≤10이고 f(x)=10이 되는 x는 오직 한 개 있다.
다음 중 옳지 않은 것은?
① f(5)=f(−5)=0이다.
② f(x)는 x=0일 때 최대이다.
③ f(x)=5가 되는 x는 두 개 이상 있다.
④ f(x)가 최소가 되는 x는 오직 한 개 있다.
⑤ 모든 실수 x에 대하여 f(x+5)f(x−5)=0이다.
12. 집합 P는 실수 전체의 집합의 부분집합으로서 다음 성질 (A)와 (B)를 갖는다.
(A) 임의의 실수 a에 대하여 a∈P, a=0, −a∈P 중 적어도 하나는 성립하지만 두 가지 이상은 동시에 성립하지 않는다.
(B) a∈P이고 b∈P이면 ab∈P이다.
다음은 위의 성질을 이용하여 “a∈P이면 a1∈P이다.”를 증명한 것이다.
<증 명>
가정에서 a∈P이므로 (A)에 의해 a=0이다.
따라서, 실수 a1은 0이 아니므로 ㈎에 의하여 a1∈P 또는 −a1∈P이다. −a1∈P인 경우에는 ㈏와 가정에 의하여 −1=a×(−a1)∈P이다.
그런데, −1∈P라면 (B)에 의하여 1=(−1)×(−1)∈P가 되어 ㈐에 모순이다.
따라서, a1∈P이다.
위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?
① (A), (B), (A)
② (A), (B), (B)
③ (B), (A), (A)
④ (A), (A), (B)
⑤ (B), (A), (B)
13. 좌표평면 위의 원 (x−1)2+(y−2)2=r2과 원 밖의 점 A(5,4)가 있다. 점 A에서 원에 그은 접선이 서로 수직일 때, 반지름의 길이 r의 값은?
① 10
② 11
③ 12
④ 13
⑤ 14
14. 좌표평면 위의 두 점 A(x1,y1), B(x2,y2)를 이은 선분 AB를 4:3으로 내분하는 점과 외분하는 점의 좌표를 각각 C(x3,y3)과 D(x4,y4)라 하자. 이 때, X(x1x2y1y2)=(x3x4y3y4)를 항상 만족시키는 2차의 정사각행렬 X를 구하면?
① (74−3734)
② (74473−3)
③ ⎝⎛7374−34⎠⎞
④ (73374−4)
⑤ (73−3744)
15. 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 1인 정사각뿔이 있다. 모서리 EC 위를 움직이는 점 P에 대하여 ∠BPD=θ라 할 때, cosθ의 최대값과 최소값의 합은?
17. 좌표평면에서 세 부등식 3x+4y−16<0, 3x−4y+10>0, y>0을 동시에 만족시키는 영역에 속하는 점 중에서 이 영역의 경계를 이루는 세 선분과의 거리가 모두 자연수인 점의 개수는?
① 0
② 1
③ 3
④ 5
⑤ 7
18. 두 자동차 A, B가 같은 지점에서 동시에 출발하여 직선 도로를 한 방향으로만 달리고 있다. t초 동안 A, B가 움직인 거리는 각각 미분 가능한 함수 f(t), g(t)로 주어지고 다음이 성립한다고 한다.
㈎ f(20)=g(20)
㈏ 10≤t≤30에서 f′(t)<g′(t)
이로부터 10≤t≤30에서의 A와 B의 위치에 관한 다음 설명 중 옳은 것은?
① B가 항상 A의 앞에 있다.
② A가 항상 B의 앞에 있다.
③ B가 A를 한 번 추월한다.
④ A가 B를 한 번 추월한다.
⑤ A가 B를 추월한 후 B가 다시 A를 추월한다.
19. 지름의 길이가 300m인 원 모양의 땅에 둘레의 길이가 800m인 직사각형 모양의 경기장을 만들려고 한다. 이 경기장의 넓이가 최소가 되게 하는 직사각형의 가로와 세로의 길이의 차는 몇 m인가?
① 1003
② 1002
③ 502
④ 503
⑤ 100
20. 1993년 우리 나라의 교육 예산은 GNP의 3.7% 수준이라고 한다. 1993년부터 1998년까지의 우리 나라의 GNP성장률이 매년 7%라고 가정할 때, 1998년에 교육 예산이 GNP의 5%가 되도록 하려면 앞으로 5년 동안 교육 예산을 매년 몇 %씩 증가시켜야 하는가? (log3.7=0.5682, log5=0.6990, log7=0.8451)