2. 서로 다른 두 실수 α, β에 대하여 α+β=1일 때, x→∞lim4x+α−4x+βx+α2−x+β2의 값은?
① 1
② 21
③ 2
④ 41
⑤ 4
3. 그림은 이차함수 y=f(x)의 그래프이다. 함수 g(x)를 g(x)=∫xx+1f(t)dt라 할 때, g(x)의 최소값은?
① g(1)
② g(2)
③ g(25)
④ g(27)
⑤ g(4)
4. 첫째 항이 m, 공차가 1인 등차수열의 첫째 항부터 제n항까지의 합이 50일 때, m+n의 값은? (단, m≤10인 자연수)
① 13
② 14
③ 15
④ 16
⑤ 17
5. 무한등비급수 n=1∑∞rn이 수렴할 때, 다음 중 반드시 수렴한다고 할 수 없는 것은?
① n=1∑∞(rn+r2n)
② n=1∑∞(rn−2r2n)
③ n=1∑∞2rn+(−r)n
④ n=1∑∞(2r−1)n
⑤ n=1∑∞(2r−1)n
6. 직선 y=3x+2를 x축의 방향으로 k만큼 평행 이동시킨 직선이 포물선 y2=4x에 접할 때, k의 값은?
① 95
② 94
③ 92
④ 32
⑤ 31
7. 실수 전체의 집합의 부분 집합 A가 다음 조건을 만족시킨다.
x∈A이면 21x∈A이다.
다음 중 항상 옳은 것은?
① 2∈A이면 0∈A이다.
② A가 유한집합이면 2∈A이다.
③ A가 무한집합이면 0∈A이다.
④ x∈A이고 y∈A이면 x+y∈A이다.
⑤ x∈A이고 y∈A이면 xy∈A이다.
8. 자연수 a, b에 대하여 a를 b로 나눈 나머지를 a♢b라 하자. 예를 들면 1993♢5=3이다. 다음 중 옳지 않은 것은?
① 모든 자연수 n에 대하여 24n♢5=1이다.
② 모든 자연수 n에 대하여 2n♢5=0이다.
③ 모든 자연수 m, n에 대하여 2m+n♢5={2m(2n♢5)}♢5이다.
④ 모든 자연수 m, n에 대하여 2m+n♢5={(2m♢5)(2n♢5)}♢5이다.
⑤ 모든 자연수 m, n에 대하여 (2m+2n)♢5=(2m♢5)+(2n♢5)이다.}
9. A가 2차 정사각행렬일 때, [보기]에서 참인 명제를 모두 고른 것은? (단, E는 2차 단위행렬이다.)
<보 기>
ㄱ. A3=A5=E이면 A=E이다.
ㄴ. A3+A2+A+E=O이면 A는 역행렬을 갖는다.
ㄷ. Ak=Am=An=E를 만족시키는 서로 다른 자연수 k, m, n이 존재하면 A=E이다.
① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ
③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ}{ㄷ
10. 그림과 같은 정육면체를 평면으로 자른 단면의 모양은 [보기] 중 몇 가지가 될 수 있는가?
12. a와 b는 서로 다른 두 정수이고 다항식 f(x)는 다음 두 성질 (A)와 (B)를 갖는다.
(A) f(x)의 모든 계수는 정수이다.
(B) f(a)f(b)=−(a−b)2
다음 [증명]은 위의 성질과 사실 (C)을 이용하여 a−bf(a)가 정수임을 보인 것이다.
(C) 정수 m, n에 대하여 이차방정식 x2+mx+n=0의 근이 유리수이면 이 근은 정수이다.
<증 명>
자연수 n에 대하여 an−bn은 a−b로 나누어 떨어지므로 (A)에 의하여㉠f(a)−f(b)는 a−b로 나누어 떨어진다. 따라서, a−bf(a)−f(b)는 정수이다. a−bf(a)와 a−b−f(b)를 두 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수와의 관계와
(B)에 의하여㉡x2−(a−bf(a)−f(b))x+1=0이다.
13. 부등식 ∣log2a−log210∣+log2b≤1을 만족시키는 두 자연수 a, b의 순서쌍 (a,b)의 개수는?
① 15
② 17
③ 19
④ 21
⑤ 23
14. 모든 실수 x, y에 대하여 행렬의 곱 (xy)(abba)(xy)의 성분이 음이 아닐 때, a2+(b−2)2의 최소값은?
① 1
② 21
③ 2
④ 41
⑤ 4
15. 실수 x에 대하여 t2=x3−x를 만족시키는 실수 t의 개수를 f(x)라 하자. 함수 y=f(x)의 그래프 개형은?
16. a, b, c가 양의 실수일 때, 다음 연립부등식 {ax2−bx+c<0cx2−bx+a<0의 해가 존재하기 위한 필요충분조건은?
① a+c<2b
② a+c<b
③ a+c<2b
④ a+c<1
⑤ a+c<2
17. 함수 f(x)=4x2−4x+1 (0≤x≤1)에 대하여 y=f(x)와 y=f(f(x))의 그래프 개형은 각각 다음과 같다.
이때 집합 {x∣f(f(f(x)))=x,0≤x≤1}의 원소의 개수는?
① 16
② 12
③ 8
④ 6
⑤ 5
18. 어떤 의사가 암에 걸린 사람을 암에 걸렸다고 진단할 확률은 98%이고, 암에 걸리지 않은 사람을 암에 걸리지 않았다고 진단할 확률은 92%라고 한다. 이 의사가 실제로 암에 걸린 사람 400명과 실제로 암에 걸리지 않은 사람 600명을 진찰하여 암에 걸렸는지 아닌지를 진단하였다. 이들 1000명 중 임의로 한 사람을 택하였을 때, 그 사람이 암에 걸렸다고 진단 받은 사람일 확률은?
① 39.2%
② 40.0%
③ 40.8%
④ 44.0%
⑤ 44.8%
19. 높이 1m인 담장이 반지름의 길이가 5m인 원 모양의 땅을 둘러싸고 있다. 광원이 원의 중심 O에서 2m 되는 지점에 수직으로 6m 되는 위치에 있을 때, 이 광원에 의하여 생긴 담장의 그림자의 넓이는?
① 11πm2
② 14πm2
③ 17πm2
④ 20πm2
⑤ 24πm2
20. 고속 열차가 출발하여 3km를 달리는 동안은 시각 t분에서의 속력이 v(t)=43t2+21t(km/분)이고 그 이후로는 속력이 일정하다. 출발 후 5분 동안 이 열차가 달린 거리는?