고3/수학

1993-11 고3 2차 수능 수학

고인도르 2023. 2. 5. 18:40
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1994학년도 제2차 대학수학능력시험 수학

시행 : 1993.11.16(화)

대상 : 고등학교 3학년

출제 : 교육과정평가원

1993-11 고3 2차 수능 2수학[문제].pdf
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1993-11 고3 2차 수능 2수학[정답].pdf
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1993-11 고3 2차 수능 2수학[해설].pdf
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삽화, 사진, 표는 누락되어 있습니다. 원본 파일을 참고하시기 바랍니다.

1. sinθ+cosθ=13\sin \theta +\cos \theta = \dfrac{1}{3}일 때, 1cosθ(tanθ+1tan2θ)\dfrac{1}{\cos \theta} \left( \tan \theta + \dfrac{1}{\tan^{2} \theta} \right)의 값은?

4516\dfrac{45}{16}
4316\dfrac{43}{16}
4116\dfrac{41}{16}
3916\dfrac{39}{16}
3716\dfrac{37}{16}

2. 서로 다른 두 실수 α\alpha , β\beta 에 대하여 α+β=1\alpha + \beta =1일 때, limxx+α2x+β24x+α4x+β\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x+ \alpha^{2}} - \sqrt{x+ \beta^{2}}}{\sqrt{4x+ \alpha } - \sqrt{4x+ \beta }}의 값은?

11
12\dfrac{1}{2}
22
14\dfrac{1}{4}
44

3. 그림은 이차함수 y=f(x)y=f (x)의 그래프이다. 함수 g(x)g (x)g(x)=xx+1f(t)dtg (x)= \displaystyle\int_{x}^{x+1} f (t)dt라 할 때, g(x)g (x)의 최소값은?

g(1)g (1)
g(2)g (2)
g(52)g \left( \dfrac{5}{2} \right)
g(72)g \left( \dfrac{7}{2} \right)
g(4)g (4)

4. 첫째 항이 mm, 공차가 11인 등차수열의 첫째 항부터 제nn항까지의 합이 5050일 때, m+nm+n의 값은? (단, m10m \le 10인 자연수)

1313
1414
1515
1616
1717

5. 무한등비급수 n=1rn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}이 수렴할 때, 다음 중 반드시 수렴한다고 할 수 없는 것은?

n=1(rn+r2n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(r^{n} +r^{2n}\right)
n=1(rn2r2n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(r^{n} -2r^{2n}\right)
n=1rn+(r)n2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{r^{n} +(-r)^{n}}{2}
n=1(r12)n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{r-1}{2} \right)^{n}
n=1(r21)n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{r}{2} -1 \right)^{n}

6. 직선 y=3x+2y=3x+2xx축의 방향으로 kk만큼 평행 이동시킨 직선이 포물선 y2=4xy^{2} =4x에 접할 때, kk의 값은?

59\dfrac{5}{9}
49\dfrac{4}{9}
29\dfrac{2}{9}
23\dfrac{2}{3}
13\dfrac{1}{3}

7. 실수 전체의 집합의 부분 집합 AA가 다음 조건을 만족시킨다.

xAx \in A이면 12xA\dfrac{1}{2} x \in A이다.

다음 중 항상 옳은 것은?

2A\sqrt{2} \in A이면 0∉A0 \not\in A이다.
AA가 유한집합이면 2∉A2 \not\in A이다.
AA가 무한집합이면 0A0 \in A이다.
xAx \in A이고 yAy \in A이면 x+yAx+y \in A이다.
xAx \in A이고 yAy \in A이면 xyAx y \in A이다.

8. 자연수 aa, bb에 대하여 aabb로 나눈 나머지를 aba \,\diamondsuit\, b라 하자. 예를 들면 19935=31993 \,\diamondsuit\, 5 = 3이다. 다음 중 옳지 않은 것은?

① 모든 자연수 nn에 대하여 24n5=12^{4n} \,\diamondsuit\, 5=1이다.
② 모든 자연수 nn에 대하여 2n502^{n} \,\diamondsuit\, 5 \ne 0이다.
③ 모든 자연수 mm, nn에 대하여 2m+n5={2m(2n5)}52^{m+n} \,\diamondsuit\, 5= \left\{ 2^{m} (2^{n} \,\diamondsuit\, 5) \right\} \,\diamondsuit\, 5이다.
④ 모든 자연수 mm, nn에 대하여 2m+n5={(2m5)(2n5)}52^{m+n} \,\diamondsuit\, 5= \left\{ (2^{m} \,\diamondsuit\, 5) (2^{n} \,\diamondsuit\, 5) \right\} \,\diamondsuit\, 5이다.
⑤ 모든 자연수 mm, nn에 대하여 (2m+2n)5=(2m5)+(2n5)(2^{m} +2^{n} ) \,\diamondsuit\, 5=(2^{m} \,\diamondsuit\, 5) +(2^{n} \,\diamondsuit\, 5)이다.}

9. AA22차 정사각행렬일 때, [보기]에서 참인 명제를 모두 고른 것은? (단, EE22차 단위행렬이다.)

 <보 기> 
ㄱ. A3=A5=EA^{3} =A^{5} =E이면 A=EA=E이다.
ㄴ. A3+A2+A+E=OA^{3} +A^{2} +A+E=O이면 AA는 역행렬을 갖는다.
ㄷ. Ak=Am=An=EA^{k} =A^{m} =A^{n} =E를 만족시키는 서로 다른 자연수 kk, mm, nn이 존재하면 A=EA=E이다.

① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ
③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ}{ㄷ

10. 그림과 같은 정육면체를 평면으로 자른 단면의 모양은 [보기] 중 몇 가지가 될 수 있는가?

 <보 기> 
\bullet 삼각형
\bullet 정사각형이 아닌 직사각형
\bullet 정사각형이 아닌 마름모
\bullet 오각형
\bullet 육각형

11가지
22가지
33가지
44가지
55가지

11. 오른쪽 그림에 나타나는 수를 크기 순으로 나열하여 다음과 같은 수열을 만들었다.

11, 22, 33, 1111, 1212, 1313, 2121, 2222, 2323, 3131, 3232, 3333, 111111, 112112, 113113, 121121, \cdots

이 수열의 제200200항은?

1332313323
1333213332
2111121111
2111321113
2112221122

12. aabb는 서로 다른 두 정수이고 다항식 f(x)f (x)는 다음 두 성질 (A)와 (B)를 갖는다.

(A) f(x)f (x)의 모든 계수는 정수이다.
(B) f(a)f(b)=(ab)2f (a)f (b)=-(a-b)^{2}

다음 [증명]은 위의 성질과 사실 (C)을 이용하여 f(a)ab\dfrac{f (a)}{a-b}가 정수임을 보인 것이다.

(C) 정수 mm, nn에 대하여 이차방정식 x2+mx+n=0x^{2} +m x+n=0의 근이 유리수이면 이 근은 정수이다.

 <증 명> 
자연수 nn에 대하여 anbna^{n} -b^{n}aba-b로 나누어 떨어지므로 (A)에 의하여 f(a)f(b)f (a)-f (b)aba-b로 나누어 떨어진다. 따라서, f(a)f(b)ab\dfrac{f (a)-f (b)}{a-b}는 정수이다. f(a)ab\dfrac{f (a)}{a-b}f(b)ab\dfrac{-f (b)}{a-b}를 두 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수와의 관계와 (B)에 의하여 x2(f(a)f(b)ab)x+1=0x^{2} - \left( \dfrac{f (a)-f (b)}{a-b} \right) x +1=0이다.

f(a)ab\dfrac{f (a)}{a-b} (A)에 의하여 유리수이고 f(a)f(b)ab\dfrac{f (a)-f (b)}{a-b}는 정수이므로 (C)에 의하여 f(a)ab\dfrac{f (a)}{a-b}는 정수이다.

위의 증명 과정에서 밑줄 친 부분 중 (A), (B), (C)를 잘못 이용한 것은?

① ㉠
② ㉡
③ ㉢
④ ㉣
⑤ 없다.

13. 부등식 log2alog210+log2b1| \log_{2} a-\log_{2} 10 |+\log_{2} b \le 1을 만족시키는 두 자연수 aa, bb의 순서쌍 (a,b)(a, b )의 개수는?

1515
1717
1919
2121
2323

14. 모든 실수 xx, yy에 대하여 행렬의 곱 (xy)(abba)(xy)\begin{pmatrix}x&y \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b \\b&a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}의 성분이 음이 아닐 때, a2+(b2)2a^{2} +(b-2)^{2}의 최소값은?

11
12\dfrac{1}{2}
22
14\dfrac{1}{4}
44

15. 실수 xx에 대하여 t2=x3xt^{2} =x^{3} -x를 만족시키는 실수 tt의 개수를 f(x)f (x)라 하자. 함수 y=f(x)y=f (x)의 그래프 개형은?

16. aa, bb, cc가 양의 실수일 때, 다음 연립부등식 {ax2bx+c<0cx2bx+a<0\begin{cases}ax^{2} -bx+c < 0\\cx^{2} -bx+a < 0\end{cases}의 해가 존재하기 위한 필요충분조건은?

a+c<b2a+c < \dfrac{b}{2}
a+c<ba+c < b
a+c<2ba+c < 2b
a+c<1a+c < 1
a+c<2a+c < 2

17. 함수 f(x)=4x24x+1f (x)=4x^{2} -4x+1 (0x10 \le x \le 1)에 대하여 y=f(x)y=f (x)y=f(f(x))y=f (f (x))의 그래프 개형은 각각 다음과 같다.

이때 집합 {xf(f(f(x)))=x,0x1}\left\{ x \,|\, f (f (f (x)))=x, 0 \le x \le 1 \right\}의 원소의 개수는?

1616
1212
88
66
55

18. 어떤 의사가 암에 걸린 사람을 암에 걸렸다고 진단할 확률은 98%98 \%이고, 암에 걸리지 않은 사람을 암에 걸리지 않았다고 진단할 확률은 92%92 \%라고 한다. 이 의사가 실제로 암에 걸린 사람 400400명과 실제로 암에 걸리지 않은 사람 600600명을 진찰하여 암에 걸렸는지 아닌지를 진단하였다. 이들 10001000명 중 임의로 한 사람을 택하였을 때, 그 사람이 암에 걸렸다고 진단 받은 사람일 확률은?

39.2%39.2\%
40.0%40.0\%
40.8%40.8\%
44.0%44.0\%
44.8%44.8\%

19. 높이 11m인 담장이 반지름의 길이가 55m인 원 모양의 땅을 둘러싸고 있다. 광원이 원의 중심 OO에서 22m 되는 지점에 수직으로 66m 되는 위치에 있을 때, 이 광원에 의하여 생긴 담장의 그림자의 넓이는?

11πm211\pi\text{m}^{2}
14πm214\pi\text{m}^{2}
17πm217\pi\text{m}^{2}
20πm220\pi\text{m}^{2}
24πm224\pi\text{m}^{2}

20. 고속 열차가 출발하여 33km를 달리는 동안은 시각 tt분에서의 속력이 v(t)=34t2+12t(km/)v(t )= \dfrac{3}{4} t^{2} + \dfrac{1}{2} t(\text{km}/분)이고 그 이후로는 속력이 일정하다. 출발 후 55분 동안 이 열차가 달린 거리는?

1717km
1616km
1515km
1414km
1313km