2023-11 고3 수능 수학(미적분)

2024학년도 대학수학능력시험 수학(미적분)
시행 : 2023.11.16(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

2023-11 고3 수능 2수학(미적분)[문제].pdf

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2023-11 고3 수능 2수학(미적분)[정답].pdf

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2023-11 고3 수능 2수학(미적분)[해설].pdf

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1. $\sqrt[3]{24} \times 3^{2\over3}$의 값은? [2점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

2. 함수 $f(x) = 2x^{3} -5x^{2} +3$에 대하여 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(2+h) -f(2)}{h}$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

3. $\dfrac{3}{2} \pi < \theta < 2\pi$인 $\theta$에 대하여 $\sin(-\theta) = \dfrac{1}{3}$일 때,
$\tan\theta$의 값은? [3점]

① $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
② $-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
③ $- \dfrac{1}{4}$
④ $\dfrac{1}{4}$
⑤ $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

4. 함수 $f(x) =\begin{cases}3x-a&(x < 2)\\x^{2} +a&(x \ge 2)\end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

5. 다항함수 $f(x)$가 $$f^{\prime}(x) = 3x(x-2),\,\,\,\,f(1) = 6$$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

6. 등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_{n}$이라 하자. $$S_{4} -S_{2} = 3a_{4},\,\,\,\,a_{5} = \dfrac{3}{4}$$일 때, $a_{1} +a_{2}$의 값은? [3점]

① $27$
② $24$
③ $21$
④ $18$
⑤ $15$

7. 함수 $f(x) = \dfrac{1}{3}x^{3} -2x^{2} -12x+4$가 $x = \alpha$에서 극대이고 $x = \beta$에서 극소일 때, $\beta -\alpha$의 값은? (단, $\alpha$와 $\beta$는 상수이다.) [3점]

① $-4$
② $-1$
③ $2$
④ $5$
⑤ $8$

8. 삼차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$xf(x) -f(x) = 3x^{4} -3x$$를 만족시킬 때, $\displaystyle\int_{- 2}^{2}f(x)dx$의 값은? [3점]

① $12$
② $16$
③ $20$
④ $24$
⑤ $28$

9. 수직선 위의 두 점 $P(\log_{5}3)$, $Q(\log_{5}12)$에 대하여 선분 $PQ$를 $m : (1-m)$으로 내분하는 점의 좌표가 $1$일 때, $4^{m}$의 값은? (단, $m$은 $0 < m< 1$인 상수이다.) [4점]

① $\dfrac{7}{6}$
② $\dfrac{4}{3}$
③ $\dfrac{3}{2}$
④ $\dfrac{5}{3}$
⑤ $\dfrac{11}{6}$

10. 시각 $t = 0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $P$, $Q$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $$v_{1}(t) = t^{2} - 6t+5,\,\,\,\,v_{2}(t) = 2t-7$$이다. 시각 $t$에서의 두 점 $P$, $Q$ 사이의 거리를 $f(t)$라 할 때, 함수 $f(t)$는 구간 $\left[0, a\right]$에서 증가하고, 구간 $\left[a, b\right]$에서 감소하고, 구간 $\left[b, \infty\right)$에서 증가한다. 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 점 $Q$가 움직인 거리는? (단, $0 < a < b$) [4점]

① $\dfrac{15}{2}$
② $\dfrac{17}{2}$
③ $\dfrac{19}{2}$
④ $\dfrac{21}{2}$
⑤ $\dfrac{23}{2}$

11. 공차가 $0$이 아닌 등차수열 $\left\{a_{n}\right\}$에 대하여 $$|a_{6}|= a_{8},\,\,\,\,\displaystyle\sum_{k = 1}^{5}\dfrac{1}{a_{k}a_{k+1}}= \dfrac{5}{96}$$일 때, $\displaystyle\sum_{k = 1}^{15}a_{k}$의 값은? [4점]

① $60$
② $65$
③ $70$
④ $75$
⑤ $80$


12. 함수 $f(x) = \dfrac{1}{9} x(x-6)(x-9)$와 실수 $t$ ($0 < t < 6$)에 대하여 함수 $g(x)$는 $$g(x) =\begin{cases}f(x)&(x < t)\\-(x-t) +f(t)&(x \ge t)\end{cases}$$이다. 함수 $y = g(x)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은? [4점]

① $\dfrac{125}{4}$
② $\dfrac{127}{4}$
③ $\dfrac{129}{4}$
④ $\dfrac{131}{4}$
⑤ $\dfrac{133}{4}$

13. 그림과 같이 $$\overline{AB} = 3,\,\,\,\,\overline{BC} = \sqrt{13},\,\,\,\,\overline{AD}\times \overline{CD}= 9,\,\,\,\,\angle BAC = \dfrac{\pi}{3}$$인 사각형 $ABCD$가 있다. 삼각형 $ABC$의 넓이를 $S_{1}$, 삼각형 $ACD$의 넓이를 $S_{2}$라 하고, 삼각형 $ACD$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하자. $S_{2} = \dfrac{5}{6} S_{1}$일 때, $\dfrac{R}{\sin(\angle ADC)}$의 값은? [4점]

① $\dfrac{54}{25}$
② $\dfrac{117}{50}$
③ $\dfrac{63}{25}$
④ $\dfrac{27}{10}$
⑤ $\dfrac{72}{25}$

14. 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f(x)$는 $$f(x) =\begin{cases}2x^{3} - 6x +1&(x \le 2)\\a(x-2)(x-b)+9&(x > 2)\end{cases}$$이다. 실수 $t$에 대하여 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. $$g(k) + \displaystyle\lim_{t \to k-}g(t) + \displaystyle\lim_{t \to k+}g(t) = 9$$를 만족시키는 실수 $k$의 개수가 $1$이 되도록 하는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$에 대하여 $a+b$의 최댓값은? [4점]

① $51$
② $52$
③ $53$
④ $54$
⑤ $55$


15. 첫째항이 자연수인 수열 $\left\{a_{n}\right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} =\begin{cases}2^{a_{n}}&(\text{$a_{n}$이 홀수인 경우})\\\dfrac{1}{2}a_{n}&(\text{$a_{n}$이 짝수인 경우})\end{cases}$$를 만족시킬 때, $a_{6} +a_{7} = 3$이 되도록 하는 모든 $a_{1}$의 값의 합은? [4점]

① $139$
② $146$
③ $153$
④ $160$
⑤ $167$


16. 방정식 $3^{x - 8} =\left(\dfrac{1}{27}\right)^{x}$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]

17. 함수 $f(x) = (x+1)(x^{2} +3)$에 대하여 $f^{\prime}(1)$의 값을 구하시오.

18. 두 수열 $\left\{a_{n}\right\}$, $\left\{b_{n}\right\}$에 대하여 $$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_{k} = \displaystyle\sum_{k=1}^{10}(2b_{k} -1),\,\,\,\,\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(3a_{k} +b_{k}) = 33$$일 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}b_{k}$의 값을 구하시오. [3점]

19. 함수 $f(x) = \sin \dfrac{\pi}{4} x$라 할 때, $0 < x < 16$에서 부등식 $$f(2+x)f(2-x) < \dfrac{1}{4}$$을 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하시오. [3점]

20. $a >\sqrt{2}$인 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를

$f(x) = -x^{3} +ax^{2} +2x$

라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $O(0, 0)$에서의 접선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점 중 $O$가 아닌 점을 $A$라 하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $A$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $B$라 하자. 점 $A$가 선분 $OB$를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{OA} \times \overline{AB}$의 값을 구하시오. [4점]

21. 양수 $a$에 대하여 $x \ge -1$에서 정의된 함수 $f(x)$는 $$f(x) =\begin{cases}-x^{2} +6x&(-1 \le x < 6)\\a\log_{4}(x -5)&(x \ge 6)\end{cases}$$이다. $t \ge 0$인 실수 $t$에 대하여 닫힌구간 $\left[t-1, t+1\right]$에서의 $f(x)$의 최댓값을 $g(t)$라 하자. 구간 $\left[0, \infty\right)$에서 함수 $g(t)$의 최솟값이 $5$가 되도록 하는 양수 $a$의 최솟값을 구하시오. [4점]

22. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $f(x)$에 대하여 $$f(k -1)f(k +1) < 0$$을 만족시키는 정수 $k$는 존재하지 않는다.

$f^{\prime}\left(- \dfrac{1}{4}\right) = - \dfrac{1}{4}$, $f^{\prime}\left(\dfrac{1}{4}\right) < 0$일 때, $f(8)$의 값을 구하시오. [4점]

23. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+3x)}{\ln(1+5x)}$의 값은? [2점]

① $\dfrac{1}{5}$
② $\dfrac{2}{5}$
③ $\dfrac{3}{5}$
④ $\dfrac{4}{5}$
⑤ $1$

24. 매개변수 $t$ ($t > 0$)으로 나타내어진 곡선 $$x = \ln(t^{3} +1),\,\,\,\,y = \sin\pi t$$에서 $t = 1$일 때, $\dfrac{dy}{dx}$의 값은? [3점]

① $- \dfrac{1}{3} \pi$
② $- \dfrac{2}{3} \pi$
③ $-\pi$
④ $- \dfrac{4}{3} \pi$
⑤ $- \dfrac{5}{3} \pi$

25. 양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 있다. $g(x)$는 $f(x)$의 역함수이고, $g^{\prime}(x)$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다. 모든 양수 $a$에 대하여 $$\displaystyle\int_{1}^{a}\dfrac{1}{g^{\prime}(f(x))f(x)}dx = 2\ln a+\ln(a+1)-\ln2$$이고 $f(1) = 8$일 때, $f(2)$의 값은? [3점]

① $36$
② $40$
③ $44$
④ $48$
⑤ $52$

26. 그림과 같이 곡선 $y =\sqrt{(1-2x)\cos x}$ ($\dfrac{3}{4} \pi \le x \le \dfrac{5}{4} \pi$)와 $x$축 및 두 직선 $x = \dfrac{3}{4} \pi$, $x = \dfrac{5}{4} \pi$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

① $\sqrt{2}\pi -\sqrt{2}$
② $\sqrt{2}\pi -1$
③ $2\sqrt{2}\pi -\sqrt{2}$
④ $2\sqrt{2}\pi -1$
⑤ $2\sqrt{2}\pi$

27. 실수 $t$에 대하여 원점을 지나고 곡선 $y = \dfrac{1}{e^{x}} +e^{t}$에 접하는 직선의 기울기를 $f(t)$라 하자. $f(a) = -e\sqrt{e}$를 만족시키는 상수 $a$에 대하여 $f^{\prime}(a)$의 값은? [3점]

① $- \dfrac{1}{3} e\sqrt{e}$
② $- \dfrac{1}{2} e\sqrt{e}$
③ $- \dfrac{2}{3} e\sqrt{e}$
④ $- \dfrac{5}{6} e\sqrt{e}$
⑤ $-e\sqrt{e}$

28. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge 0$이고, $x < 0$일 때 $f(x) = -4xe^{4x^{2}}$이다. 모든 양수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 $g(t)$, 큰 값을 $h(t)$라 하자.
두 함수 $g(t)$, $h(t)$는 모든 양수 $t$에 대하여 $$2g(t) + h(t) = k\,\,\,\,(\text{$k$는 상수})$$를 만족시킨다. $\displaystyle\int_{0}^{7}f(x)dx = e^{4} -1$일 때, $\dfrac{f(9)}{f(8)}$의 값은? [4점]

① $\dfrac{3}{2} e^{5}$
② $\dfrac{4}{3} e^{7}$
③ $\dfrac{5}{4} e^{9}$
④ $\dfrac{6}{5} e^{11}$
⑤ $\dfrac{7}{6} e^{13}$

29. 첫째항과 공비가 각각 $0$이 아닌 두 등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$, $\left\{b_{n}\right\}$에 대하여 두 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$이 각각 수렴하고 $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} =\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\right) \times\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\right),\,\,\,\,3\times \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{2n}|= 7\times \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{3n}|$$이 성립한다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{b_{2n- 1} +b_{3n+ 1}}{b_{n}} = S$일 때, $120S$의 값을 구하시오. [4점]

30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime}(x)$가 $$f^{\prime}(x) = |\sin x|\cos x$$이다. 양수 $a$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식을 $y = g(x)$라 하자. 함수 $$h(x) =\displaystyle\int_{0}^{x}\left\{f(t) -g(t)\right\}dt$$가 $x = a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_{n}$이라 하자. $\dfrac{100}{\pi} \times (a_{6} -a_{2})$의 값을 구하시오. [4점]