2. 이차방정식 x2+7x+1=0의 두 근이 α, β일 때, (α2+β2)+7(α+β)의 값은?
① −4
② −2
③ 0
④ 1
⑤ 3
3. (2+2sin3π)(2−tan3π)의 값은?
① 1
② 21
③ 31
④ 41
⑤ 51
4. 다항식 x3+3x2+ax+b가 x+1로 나누어 떨어질 때, a−b의 값은?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
5. 그림과 같이 직사각형 ABCD가 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원에 내접해 있다. x축과 선분 OA가 이루는 각을 θ라 할 때, cos(π−θ)와 같은 것은? (단, 0<θ<4π)
① A의 x좌표
② B의 y좌표
③ C의 x좌표
④ C의 y좌표
⑤ D의 x좌표
6. 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프가 각각 아래 그림과 같다.
다음 중 y=(g∘f)(x)의 그래프의 개형은?
7. 두 다항식 x3−1, x3−2x+1의 최대공약수는?
① x
② x−1
③ x+1
④ x−2
⑤ x+2
8. 분수함수 y=x1의 그래프가 직선 y=ax에 대하여 대칭이 되는 상수 a의 값을 모두 구하면?
① −1, 1
② −2, 2
③ −3, 3
④ −4, 4
⑤ −5, 5
9. 반지름의 길이가 r이고 높이가 1인 원기둥에 물이 들어있다. 원기둥을 수평으로 뉘었을 때 수면과 옆면이 만나서 이루는 현에 대한 중심각을 θ라 하자. 원기둥을 세웠을 때 수면의 높이 h를 θ로 표시하면? (단, 0<θ<π, 0<h<21)
① h=2π1θ
② h=2π1sinθ
③ h=θ−sinθ
④ h=2π1(θ+sinθ)
⑤ h=2π1(θ−sinθ)
10. 좌표평면에서 두 점 (1,3), (3,1)을 지나는 직선과 원점 사이의 거리는?
① 1
② 2
③ 22
④ 4
⑤ 32
11. 두 함수 f(x)=x+1, g(x)=x2−2x+1가 (g∘f)(2x)=41을 만족시킬 때, x의 값은?
① −2
② −1
③ 0
④ 1
⑤ 2
12. 그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 1인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 두 차량이 각각 A와 B에서 출발하여 A, B 이외의 교차로 P에서 만났다. 두 차량이 움직인 거리의 합이 4가 되는 P의 위치를 모두 표시하면?
13. 다음은 좌표평면 위의 서로 다른 네 점 A, B, C, D에 대한 설명이다.
㈎ 점 A와 점 B는 x축 위에 있다.
㈏ 점 B의 x좌표는 점 A의 x좌표보다 크다.
㈐ AB=AC=BC=AD=CD
점 A, B, C, D의 x좌표를 각각 a, b, c, d라 할 때, 옳은 것은?
① a<d<c<b
② c<a<d<b
③ c<d<a<b
④ d<a<c<b
⑤ d<c<a<b
14. 좌표평면의 제1사분면 위의 점 P에서 x축, y축에 내린 수선의 발을 각각 Q, R라 하자. 점 A(−1,−1)에 대하여 PA=PQ+PR를 만족시키는 점 P의 자취의 개형은?
15. 자연수 n에 대하여 n2을 오진법으로 표현했을 때 일의 자리 수를 f(n)이라 하자. [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?
<보 기>
ㄱ. f(3)=4
ㄴ. 0≤f(n)≤4
ㄷ. f(n)=2인 자연수 n은 없다.
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
16. 전체집합 U={1,2,3,4,5}의 서로 다른 두 부분집합 X, Y에 대하여 (X∪Y)−(X∩Y)의 가장 작은 원소가 X에 속할 때, X⇨Y라 하자. U의 부분집합 A={2,3,4}, B={1,2,5}, C={2,4,5}에 대하여 옳은 것은?
① A⇨B⇨C
② A⇨C⇨B
③ B⇨A⇨C
④ B⇨C⇨A
⑤ C⇨A⇨B
17. 다음은 지수법칙 ar+s=aras으로부터 모든 양수 x, y에 대하여 logaxy=logax+logay 가 성립함을 증명한 것이다. (단, a=1, a>0)
<증 명>
r=logax, s=logay로 놓으면
ar=x,as= ㈎
지수법칙으로부터 ar+s= ㈏
로그의 정의에 의하여 r+s=loga ㈏
그러므로 logaxy=logax+logay이다.
위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?
① x, x+y
② y, x+y
③ x, xy
④ y, xy
⑤ x, yx
18. 다음은 △ABC에서 BC<AC<AB일 때, 삼각형 내부의 한 점 P에 대하여 PA+PB+PC<AB+AC임을 증명한 것이다.
<증 명>
가정에 의해 BC<AC<AB이므로 ∠A<∠B<∠C
점 P를 지나고 선분 BC에 평행한 직선이 선분 AB, AC와 만나는 점을 각각 D, E라고 하자.
선분 DE와 선분 BC가 평행하므로
∠ADE=∠B,∠AED=∠C
따라서, ∠A<∠ADE<∠AED
그러므로 △ADE에서 ㈎ ⋯ ①
이고 PA<AD⋯ ② △BDP에서 PB<PD+DB⋯ ③ △EPC에서 PC<PE+EC⋯ ④
①, ②, ③, ④에서 PA+PB+PC<AB+AC
위의 증명에서 ㈎에 알맞은 것은?
① AD<AE<DE
② AD<DE<AE
③ AE<AD<DE
④ AE<DE<AD
⑤ DE<AE<AD
19. 0<θ<2π일 때, log(sinθ)−log(cosθ)=21log3을 만족시키는 θ의 값은? (단, log는 상용로그)
① 61π
② 41π
③ 72π
④ 31π
⑤ 52π
20. 좌표평면 위에 여섯 개의 점 (1,1), (1,−1), (0,1), (0,−1), (−1,1), (−1,−1)이 있다. 이 중 세 점을 지나는 이차함수 y=f(x)의 개수는?
① 2
② 4
③ 6
④ 8
⑤ 10
21. 함수 f(x)=sin(x+2π)−cos2(x+π)의 최대값은?
① 41
② 21
③ 43
④ 1
⑤ 45
22. 영어의 알파벳 A, B, ⋯, Z에 십진법의 수 1부터 26에 해당하는 이진법의 수 00001(2), 00010(2), ⋯, 11010(2)을 순서대로 대응시키자. 이진법의 수 α와 β의 각 자리의 수를 비교하여 같으면 0, 다르면 1을 그 자리에 대응시켜 얻은 이진법의 수를 α∧β라 하자. 예를 들면
10001(2)∧10101(2)=00100(2),00001(2)∧10101(2)=10100(2)
각 알파벳에 대응하는 이진법의 수를 10101(2)과 연산 ∧을 하여 얻은 이진법의 수로 그 알파벳을 암호화하였다. 예를 들면 암호가 10100(2)인 알파벳은 A이다. 암호가 11001(2)인 알파벳은?
① B
② D
③ L
④ P
⑤ S
23. 좌표평면 위의 네 점 (−2,2), (4,2), (1,−2), (4,−2)에 있는 나사를 모두 조이는 작업을 반복하는 로봇팔의 한쪽 끝을 점 P에 고정시키려 한다. 로봇팔은 점 P를 중심으로 360˚ 회전 가능하고, 점 P로부터의 거리가 로봇팔의 길이 이하인 모든 곳의 나사를 조일 수 있다. 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 P의 좌표는?
① (0,0)
② (0,1)
③ (0,−1)
④ (1,0)
⑤ (1,1)
24. 마라톤 경기의 총 구간의 거리는 42.195km이다. 어떤 마라톤 선수의 기록이 2시간 6분 30초였다. 마지막 195m를 30초에 달렸다면, 처음 42km구간에서 100m를 평균 몇 초에 달렸는가?
① 14초
② 15초
③ 16초
④ 17초
⑤ 18초
25. 삼차함수 f(x)=ax3+b의 역함수 f−1가 f−1(5)=2를 만족시킬 때, 8a+b의 값을 구하시오.
26. 다항식 f(x)를 (x−1)(x−2)로 나눈 나머지가 4x+3일 때, f(2x)를 x−1로 나눈 나머지를 구하시오.
27. log22+log24+log28+log216의 값을 구하시오.
28. 1<a<10일 때 (a2−100)2+(a2−1)2의 값을 구하시오.
29. 함수 y=10ax의 역함수가 y=100alogx일 때, 양수 a의 값을 구하시오. (단, log는 상용로그)
30. 21+521−5+21−521+5의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.