2002학년도 대학수학능력시험 수학(자연계) 시행 : 2001.11.07(수) 대상 : 고등학교 3학년 출제 : 교육과정평가원
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1. (2)5의 값은?
① 2
② 2
③ 22
④ 4
⑤ 42
2. 이차방정식 x2+7x+1=0의 두 근이 α, β일 때, (α2+β2)+7(α+β)의 값은?
① −4
② −2
③ 0
④ 1
⑤ 3
3. (2+2sin3π)(2−tan3π)의 값은?
① 1
② 21
③ 31
④ 41
⑤ 51
4. f(x)=(x2+1)ex일 때, f′(0)의 값은?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
5. 거리가 1인 두 평행한 평면으로 반지름의 길이가 1인 구를 잘라서 얻어진 두 단면의 넓이의 합의 최대값은?
① 21π
② 43π
③ π
④ 23π
⑤ 2π
6. 쌍곡선 2x2−y2=1 위의 점 (2,1)에서의 접선이 y축과 만나는 점의 y좌표는?
① −2
② −1
③ 0
④ 2
⑤ 3
7. A=(1101), B=(101−1)일 때, 행렬 A−1+AB는? (단, A−1는 A의 역행렬)
① (0021)
② (1001)
③ (2011)
④ (2022)
⑤ (110−1)
8. 복소평면 위의 다음 곡선 중 그 위의 어떠한 두 점 P(z1), Q(z2)에 대하여도 복소수 z2z1이 순허수가 될 수 없는 것은?
9. 일차변환 f를 나타내는 행렬이
⎝⎛2123−2321⎠⎞
라 하자. 오른쪽 그림의 꺾인 선분 OAB를 f에 의하여 옮겨서 얻은 꺾인 선분과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
① 2
② 22
③ 3
④ 1
⑤ 2
10. 구간 [0,1]에서 정의된 연속확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x)=ax+a로 주어졌을 때, 상수 a의 값은?
① 31
② 32
③ 1
④ 23
⑤ 2
11. 삼차함수 y=f(x)가 서로 다른 세 실수 a, b, c에 대하여 f(a)=f(b)=0,f′(a)=f′(c)=0을 만족시킨다. c를 a와 b로 나타내면?
① a+b
② 2a+b
③ 3a+b
④ 3a+2b
⑤ 32a+b
12. 그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 1인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 두 차량이 각각 A와 B에서 출발하여 A, B 이외의 교차로 P에서 만났다. 두 차량이 움직인 거리의 합이 4가 되는 P의 위치를 모두 표시하면?
13. 다음은 좌표평면 위의 서로 다른 네 점 A, B, C, D에 대한 설명이다.
㈎ 점 A와 점 B는 x축 위에 있다.
㈏ 점 B의 x좌표는 점 A의 x좌표보다 크다.
㈐ AB=AC=BC=AD=CD
점 A, B, C, D의 x좌표를 각각 a, b, c, d라 할 때, 옳은 것은?
① a<d<c<b
② c<a<d<b
③ c<d<a<b
④ d<a<c<b
⑤ d<c<a<b
14. 좌표평면의 제1사분면 위의 점 P에서 x축, y축에 내린 수선의 발을 각각 Q, R라 하자. 점 A(−1,−1)에 대하여 PA=PQ+PR를 만족시키는 점 P의 자취의 개형은?
15. 자연수 n에 대하여 n2을 오진법으로 표현했을 때 일의 자리 수를 f(n)이라 하자. [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?
<보 기>
ㄱ. f(3)=4
ㄴ. 0≤f(n)≤4
ㄷ. f(n)=2인 자연수 n은 없다.
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
16. 전체집합 U={1,2,3,4,5}의 서로 다른 두 부분집합 X, Y에 대하여 (X∪Y)−(X∩Y)의 가장 작은 원소가 X에 속할 때, X⇨Y라 하자. U의 부분집합 A={2,3,4}, B={1,2,5}, C={2,4,5}에 대하여 옳은 것은?
① A⇨B⇨C
② A⇨C⇨B
③ B⇨A⇨C
④ B⇨C⇨A
⑤ C⇨A⇨B
17. 다음은 지수법칙 ar+s=aras으로부터 모든 양수 x, y에 대하여 logaxy=logax+logay 가 성립함을 증명한 것이다. (단, a=1, a>0)
<증 명>
r=logax, s=logay로 놓으면
ar=x,as= ㈎
지수법칙으로부터 ar+s= ㈏
로그의 정의에 의하여 r+s=loga ㈏
그러므로 logaxy=logax+logay이다.
위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?
① x, x+y
② y, x+y
③ x, xy
④ y, xy
⑤ x, yx
18. 다음은 △ABC에서 BC<AC<AB일 때, 삼각형 내부의 한 점 P에 대하여 PA+PB+PC<AB+AC임을 증명한 것이다.
<증 명>
가정에 의해 BC<AC<AB이므로 ∠A<∠B<∠C
점 P를 지나고 선분 BC에 평행한 직선이 선분 AB, AC와 만나는 점을 각각 D, E라고 하자.
선분 DE와 선분 BC가 평행하므로
∠ADE=∠B,∠AED=∠C
따라서, ∠A<∠ADE<∠AED
그러므로 △ADE에서 ㈎ ⋯ ①
이고 PA<AD⋯ ② △BDP에서 PB<PD+DB⋯ ③ △EPC에서 PC<PE+EC⋯ ④
①, ②, ③, ④에서 PA+PB+PC<AB+AC
위의 증명에서 ㈎에 알맞은 것은?
① AD<AE<DE
② AD<DE<AE
③ AE<AD<DE
④ AE<DE<AD
⑤ DE<AE<AD
19. 그림에서 선분 AB는 원 O의 지름이고 ∠AOC=4π, OC⊥AD이다. ∠ABD=θ일 때, sin2θ의 값은?
① 31
② 32
③ 43
④ 53
⑤ 54
20. 함수 y=x3+ax의 그래프를 원점을 중심으로 양의 방향으로 45˚ 회전시켜서 얻은 곡선이 실수 전체에서 정의된 어떤 함수 y=f(x)의 그래프가 되는 a의 범위는?
① a≥1
② a≥0
③ a≤1
④ a≤−1
⑤ 0≤a≤2
21. 다음은 정적분 ∫01(x2+1)dx의 근사값의 오차의 한계를 구하는 과정의 일부이다.
그림 ㈎, ㈏와 같이 폐구간 [0,1]을 n등분하여 얻은 n개의 직사각형들의 넓이와 합을 각각 A, B라 하자. A−B≤0.15가 되는 n의 최소값은?
① 6
② 7
③ 8
④ 9
⑤ 10
22. 영어의 알파벳 A, B, ⋯, Z에 십진법의 수 1부터 26에 해당하는 이진법의 수 00001(2), 00010(2), ⋯, 11010(2)을 순서대로 대응시키자. 이진법의 수 α와 β의 각 자리의 수를 비교하여 같으면 0, 다르면 1을 그 자리에 대응시켜 얻은 이진법의 수를 α∧β라 하자. 예를 들면
10001(2)∧10101(2)=00100(2),00001(2)∧10101(2)=10100(2)
각 알파벳에 대응하는 이진법의 수를 10101(2)과 연산 ∧을 하여 얻은 이진법의 수로 그 알파벳을 암호화하였다. 예를 들면 암호가 10100(2)인 알파벳은 A이다. 암호가 11001(2)인 알파벳은?
① B
② D
③ L
④ P
⑤ S
23. 좌표평면 위의 네 점 (−2,2), (4,2), (1,−2), (4,−2)에 있는 나사를 모두 조이는 작업을 반복하는 로봇팔의 한쪽 끝을 점 P에 고정시키려 한다. 로봇팔은 점 P를 중심으로 360˚ 회전 가능하고, 점 P로부터의 거리가 로봇팔의 길이 이하인 모든 곳의 나사를 조일 수 있다. 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 P의 좌표는?
① (0,0)
② (0,1)
③ (0,−1)
④ (1,0)
⑤ (1,1)
24. 다음은 세게 석유 소비 증가 추세에 관한 글들이다.
⋯ 매년 석유 소비량을 조사한 결과, 최근 10년 동안 소비된 석유의 양은 그 이전까지 소비된 석유의 양과 같다. 예를 들어 1981년부터 1990년까지 소비된 석유의 양은 1980년까지 소비된 석유 전체의 양과 같다. ⋯
이와 같은 석유 소비 추세가 계속된다고 가정하고, 현재까지 소비된 석유의 양을 a, 현재의 석유의 매장량을 b라 할 때, 앞으로 몇 년 동안 석유를 사용할 수 있겠는가?
① 10log2(2ab+1)
② 10log2(ab+1)
③ 10log2(a2b+1)
④ 10log2(ab+2)
⑤ 10log2(a2b+2)
25. 삼차함수 f(x)=ax3+b의 역함수 f−1가 f−1(5)=2를 만족시킬 때, 8a+b의 값을 구하시오.
26. 다항식 f(x)를 (x−1)(x−2)로 나눈 나머지가 4x+3일 때, f(2x)를 x−1로 나눈 나머지를 구하시오.
27. 두 벡터 a=(9,x+1,−12), b=(−8,x,7)이 수직일 때, 양수 x의 값을 구하시오.
28. 문자 a, b, c에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어를 전송하려고 한다. 단, 전송되는 단어에 a가 연속되면 수신이 불가능하다고 하자. 예를 들면 aab, aaa 등은 수신이 불가능하고 bba, aba 등은 수신이 가능하다. 수신 가능한 단어의 개수를 구하시오.
29. 함수 f(x)가 f(10)=50, f(1)=3을 만족시킬 때,
k=1∑9f(k+1)−k=2∑10f(k−1)
의 값을 구하시오.
30. 정적분 ∫02π(sin3x+1)cosxdx의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.