2002-03 고3 학평 수학(인문계)

2002학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학(인문계)
시행 : 2002.03.28(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 서울교육청

2002-03 고3 학평 2수학(인문계)[문제].pdf

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2002-03 고3 학평 2수학(인문계)[해설].pdf

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1. 두 유리수 $a$, $b$에 대하여 등식 $\left( 1 + \sqrt{2} \right) a - \left( b + 3 \sqrt{2} \right) \sqrt{2} = 0$이 성립할 때, $a + b$의 값은?

① $8$
② $9$
③ $10$
④ $11$
⑤ $12$

2. 이차방정식 $x^{2} -2 \sqrt{2} x +1 =0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$)라 할 때, $\dfrac{\beta}{\alpha}$의 값은?

① $3+ \sqrt{2}$
② $3+2 \sqrt{2}$
③ $4+ \sqrt{2}$
④ $4+2 \sqrt{2}$
⑤ $5+2 \sqrt{2}$

3. 이차 정사각행렬 $A$, $B$가 $$(A-B)^{2} = \begin{pmatrix}5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix},\,\,\,\,A^{2} +B^{2} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$을 만족할 때, 행렬 $(A+B)^{2}$의 모든 성분의 합은?

① $1$
② $3$
③ $5$
④ $7$
⑤ $9$

4. $\log_{2} (x+y)=2$, $\log_{3} x+\log_{3} y=1$일 때, $x^{2} +y^{2}$의 값은?

① $7$
② $10$
③ $13$
④ $19$
⑤ $22$

5. 오른쪽 벤 다이어그램의 어두운 부분을 나타내는 집합을 [보기]에서 모두 고르면? (단, $U$는 전체집합이다.)

 <보 기> 

ㄱ. $( A \cap C ) \cap B^{c}$
ㄴ. $(A \cap C ) - ( A \cap B \cap C )$
ㄷ. $(A - B ) \cap (C - B )$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6. 다항식 $f (x)$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫과 나머지가 각각 $x^{2} +2x+3$, $4$일 때, 다항식 $xf (x)+2$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫은?

① $x^{3} +2x^{2} +3x+4$
② $x^{3} -2x^{2} +2x+3$
③ $x^{3} +x^{2} +x+4$
④ $x^{3} +3x^{2} -2x+4$
⑤ $x^{3} +4x^{2} -3x+2$

7. $-1 \le x \le 3$에서 정의된 함수 $f (x)=-2x^{2} +8x+a$의 최대값이 5가 되도록 상수 $a$의 값을 정할 때, 함수 $f (x)$의 최소값은?

① $-11$
② $-12$
③ $-13$
④ $-14$
⑤ $-15$

8. 이차 정사각행렬 $A$가 $A^{12} = A^{8} = E$를 만족할 때, 다음 중 $A$의 역행렬을 나타내는 것은? (단, $E$는 단 위행렬이다.)

① $A$
② $A^{2}$
③ $A^{3}$
④ $A^{4}$
⑤ $A+E$

9. $\triangle ABC$에서 $A=30 ˚$, $\overline{AC} =8$, $\overline{BC} =4 \sqrt{2}$일 때, 예각 $C$의 크기는?

① $15 ˚$
② $30 ˚$
③ $45 ˚$
④ $60 ˚$
⑤ $75 ˚$

10. 좌표평면 위에서 연립부등식 $\begin{cases}y \ge f ( x ) \\ y \le g ( x ) \end{cases}$의 영역이 오른쪽 그림과 같을 때, 부등식 $\left\{ y - f ( x ) \right\} \left\{ y - g ( x ) \right\} \le 0$의 영역을 그림으로 나타내면? (단, 경계선은 모두 영역에 포함된다.)

11. 세 실수 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$)에 대하여 $x$에 대한 연립부등식 $\begin{cases} ( x - a ) ( x - b ) > 0 \\ ( x - b ) ( x - c ) > 0 \end{cases}$의 해가 $x < -4$, $x > 3$일 때, 이차부등식 $x^{2} + ax + c < 0$의 해는?

① $-3 < x < 4$
② $3 < x < 4$
③ $-3 < x < 1$
④ $-1 < x < 3$
⑤ $1 < x < 3$

12. 다음 [그림1]은 정사각형 $PQRS$의 각 변을 $m : n$으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직사각형으로 나눈 것이고, [그림2]는 같은 정사각형 $PQRS$의 각 변을 $m : n$으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직각삼각형과 1개의 정사각형으로 나눈 것이다.

[그림1]의 각 직사각형의 넓이를 $A$, $B$, $C$, $D$라 할 때, 다음 중 [그림2]의 어두운 정사각형의 넓이를 나타내는 것은?

① $3A$
② $A + B$
③ $B + C$
④ $A + 2C$
⑤ $B + 2C$

13. 집합 $X= \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$에 대하여 함수 $f (x)$는 $X$에서 $X$로의 일대일대응이다. 함수 $f (x)$가 $$(f \circ f )( 1)=4,\,\,\,\,(f \circ f )( 3)=3$$을 만족할 때, $2f (1)+4f (3)$값은? (단, $(f \circ f )( x)=f (f (x))$)

① $12$
② $14$
③ $16$
④ $18$
⑤ $20$

14. 세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 조건 $p$, $q$, $r$를

$p : x^{2} +y^{2} +z^{2} =0$
$q : x^{2} +y^{2} +z^{2} +xy+yz+zx=0$
$r : x^{2} +y^{2} +z^{2} -xy-yz-zx=0$

이라 할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이다.
ㄴ. $p$는 $r$이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. $q$는 $r$이기 위한 필요조건이다.

① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 폐구간 $[0, 4]$에서 정의된 함수 $y=f (x)$의 그래프가 아래 그림과 같다. 합성함수 $f^{n}$을 $$f^{1} =f, f^{2} =f \circ f, \cdots , f^{n+1} = f^{n} \circ f (n=1, 2, 3, \cdots )$$이라 정의하자. 이 때, $f^{2002} (0)$의 값은? (단, 점선은 $x$축 또는 $y$축에 평행하다.)

① $0$
② $1$
③ $2$
④ $3$
⑤ $4$

16. 오른쪽 그림의 사면체 $A$-$BCD$에서 $\overline{AD} \,⊥\, \overline{BD}$, $\overline{AD} \,⊥\, \overline{DC}$이고, $\overline{AB} = \overline{AC}$이다. [보기]에서 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $\angle ABC =\angle ACB$
ㄴ. $\angle BAC=\angle BDC$
ㄷ. $\overline{BD} = \overline{CD}$
ㄹ. $\angle ABD=\angle ACD$

① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ
③ ㄱ, ㄴ, ㄹ
④ ㄱ, ㄷ, ㄹ
⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

17. 이차 정사각행렬 $A= \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 $\left| A \right|$를 $\left| A \right| =ad-bc$로 정의한다. 다음은 명제 “두 이차 정사각행렬 $A$, $B$에 대하여 $AB$의 역행렬이 존재하면 $A$, $B$ 모두 역행렬이 존재한다.”를 증명하는 과정이다.

$A= \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix}x & y \\ z & w \end{pmatrix}$라고 하면
$AB= \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax+bz & ay+bw \\ cx+dz & cy+dw \end{pmatrix}$이다.
$AB$의 역행렬이 존재하면 $\fbox{　 ㈎ 　}$이다.

$\left| AB \right|=(ax+bz)(cy+dw) -(ay+bw)(cx+dz)$
$=adxw+bcyz-bcxw-adyz$
$=ad\times \left(\fbox{　 ㈏ 　}\right) -bc\times \left(\fbox{　 ㈏ 　}\right)$
$=(ad-bc) \times \left(\fbox{　 ㈏ 　}\right)=\left| A \right| \left| B \right|$

$\fbox{　 ㈎ 　}$이므로 $\fbox{　 ㈐ 　}$이다.
따라서 $A$, $B$ 모두 역행렬이 존재한다

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 나열하면?

① $\left| AB \right| =0$, $xw+yz$, $\left| A \right| =0$이고 $\left| B \right| =0$
② $\left| AB \right| \ne 0$, $xw+yz$, $\left| A \right| \ne 0$이고 $\left| B \right| \ne 0$
③ $\left| AB \right| =0$, $xw-yz$, $\left| A \right| =0$ 또는 $\left| B \right| =0$
④ $\left| AB \right| \ne 0$, $xw-yz$, $\left| A \right| \ne 0$ 또는 $\left| B \right| \ne 0$
⑤ $\left| AB \right| \ne 0$, $xw-yz$, $\left| A \right| \ne 0$이고 $\left| B \right| \ne 0$

18. 다음은 $a$, $b$가 모두 홀수일 때 $m=11a+b$, $n=3a+b$ 중 적어도 하나는 제곱수가 아님을 증명하는 과정이다. (단, 정수의 제곱인 수를 제곱수라 한다.)

 <증 명> 

$a$, $b$가 홀수이므로 $m$, $n$은 모두 짝수이다.
$m$, $n$이 모두 제곱수라고 가정하면
$m=4p^{2}$, $n=4q^{2}$ ($p$, $q$는 정수)로 놓을 수 있다.
$m-n=(11a+b)-(3a+b)=8a$이므로

$(p+q)(p-q)=\fbox{　 ㈎ 　}$

그런데 $p$, $q$는 정수이므로 두 수 $p+q$와 $p-q$는 모두 홀수 아니면 짝수이다.
그러므로 $(p+q)(p-q)$는 홀수이거나 $\fbox{　 ㈏ 　}$의 배수이다.
그런데 ㈎는 $\fbox{　 ㈏ 　}$의 배수가 아닌 짝수이므로 모순이다.

따라서 $m$, $n$ 중 적어도 하나는 제곱수가 아니다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 식 또는 수를 순서대로 나열하면?

① $2a$, $4$
② $4a$, $4$
③ $2a$, $3$
④ $4a$, $3$
⑤ $2a$, $6$

19. $x$, $y$에 대한 연립방정식 $\begin{pmatrix}a & 2 \\ 1 & a-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y \\ -x+y \end{pmatrix}$가 $x=y=0$ 이외의 해를 가질 때, 실수 $a$의 값 들의 합은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

20. 실수 $a$에 대하여 $a$보다 크지 않은 최대의 정수를 $[ a ]$, $a$보다 작지 않은 최소의 정수를 $\left< a \right>$로 나타내기로 한다. 예를 들어 $[ 4.3 ] =4$, $\left< 4.3\right> = 5$이다. 이 때, $\left< \left[ \dfrac{3x+8}{x+2} \right] + \dfrac{x}{5} \right>= 5$를 만족시키는 양의 정수 $x$의 개수는?

① $3$
② $5$
③ $7$
④ $9$
⑤ $11$

21. 좌표평면 위에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점을 양 끝점으로 하고 길이가 1인 선분을 단위선분이라고 하자. 오른쪽 그림은 $0 < x < 6$에서 직선 $y= \dfrac{4}{3} x$가 만나는 단위선분의 개수는 10개임을 보여주고 있다. 이와 같이 생각할 때, $0<x<28$에서 직선 $y= \dfrac{11}{7} x$가 만나는 단위선분의 개수는? (단, 직선이 단위선분의 끝점과 만나는 것은 제외한다.)

① $64$
② $65$
③ $66$
④ $67$
⑤ $68$

22. A, B, C, D 네 팀이 출전한 어느 축구대회에서 네 팀이 각각 다른 세 팀과 한 번씩 경기를 치르는 리그 방식의 예선전을 하였다. 각 경기에서 이긴 팀은 $3$점을 받고, 진 팀은 $0$점을 받으며 비긴 경우에는 두 팀이 $1$점씩을 받기로 규칙을 정하였다. 총 $6$경기가 모두 끝난 후 A팀이 $6$점, B팀이 $4$점, C팀이 $3$점을 받았을 때, D팀이 받은 점수는?

① $1$점
② $3$점
③ $4$점
④ $5$점
⑤ $7$점

23. 어떤 신도시에 A, B, C 세 백화점이 있다. 이 신도시에 사는 주부 $100$명을 대상으로 지난 일년동안 이 백화점의 이용 실태를 조사하였더니 A, B, C 백화점을 이용한 적이 있는 주부들이 각각 $88$명, $75$명, $50$명이었다. [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있는 주부들은 많아야 $25$명이다.
ㄴ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 없는 주부들은 많아야 $12$명이다.
ㄷ. 적어도 $13$명의 주부들은 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있다.

① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

24. 오른쪽 그림과 같이 조난 구조용 헬리콥터가 기지 $A$를 출발하여 $B$지점에 있는 중상을 입은 등산객을 싣고, $C$지점에 있는 병원으로 가려고 한다. 세 지점 $A$, $B$, $C$에 대하여 $\angle ABC=30 ˚$, $\angle BAC=15 ˚$이고, 두 지점 $A$, $C$ 사이의 거리가 $20$km일 때, 두 지점 $B$와 $C$ 사이의 거리는?

① $(20-5 \sqrt{2} )$km
② $(10 \sqrt{3} -10 \sqrt{2} )$km
③ $(10 \sqrt{6} -10 \sqrt{2})$km
④ $(10 \sqrt{6} -10 \sqrt{3)}$km
⑤ $(20 \sqrt{3} -10 \sqrt{2})$km

25. 이차방정식 $x^{2} - 3x - 3 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $( \alpha^{2} - 2 \alpha ) ( \beta^{2} - 2 \beta )$의 값을 구하시오.

26. $f (3)=5$를 만족하는 무리함수 $f (x) = \sqrt{ax + b}$의 역함수를 $g (x)$라 한다. $g (3)=5$가 되도록 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하시오.

27. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f (x)=3^{x} +3^{-x}$에 대하여 $f (a)=6$일 때, $f (-2a)$의 값을 구하시오.

28. 좌표평면에서 원 $( x - a )^{2} + ( y - b )^{2} = r^{2}$이 $x$축과 두 점 $( 3 + \sqrt{21}, 0 )$, $( 3 - \sqrt{21}, 0 )$에서 만나고, $y$축과 두 점 $( 0, 6 )$, $( 0, -2 )$에서 만나도록 상수 $a$, $b$, $r$의 값을 정할 때, $a + b + r$의 값을 구하시오. (단, $r > 0$)

29. $2002$년 한일월드컵 공인구인 피버노바는 아래 그림과 같이 각 변의 길이가 같은 정오각형 $12$개와 정육각형 $20$개를 붙여 만든 다면체를 변형한 것이다. 이 다면체의 모서리의 개수를 구하시오.

30. 소리의 강도가 $P$(단위 : $W/\text{m}^{2}$)일 때, 소리의 크기 $D$(단위 : dB)는 기준 음의 강도 $I$와 비교하여 $D = 10\log_{10} \dfrac{P}{I}$로 나타낸다. A지역의 소리의 강도가 B지역의 소리의 강도의 5000배일 때, A지역과 B지역의 소리의 크기의 차이는 몇 dB인지 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, $\log_{10} 2=0.301$로 계산한다.)