고3/수학

1999-11 고3 수능 수학(예체능계)

고인도르 2023. 2. 7. 18:47
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2000학년도 대학수학능력시험 수학(예체능계)

시행 : 1999.11.17(수)

대상 : 고등학교 3학년

출제 : 교육과정평가원

1999-11 고3 수능 2수학(예체능계)[문제].pdf
0.39MB
1999-11 고3 수능 2수학(예체능계)[정답].pdf
0.02MB
1999-11 고3 수능 2수학(예체능계)[해설].pdf
0.19MB


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1. log717\log_{7} \dfrac{1}{\sqrt{7}}의 값은?

14\dfrac{1}{4}
12\dfrac{1}{2}
00
12-\dfrac{1}{2}
14-\dfrac{1}{4}

2. (4+3i)2(43i)2( 4 + 3 i )^{2} - ( 4 - 3 i )^{2}의 값은?

00
2424
4848
24i24i
48i48i

3. 4cos2x+4sinx=54 \cos^{2} x + 4 \sin x = 5일 때, sinx\sin x의 값은?

12\dfrac{1}{\sqrt{2}}
12\dfrac{1}{2}
11
12- \dfrac{1}{2}
12- \dfrac{1}{\sqrt{2}}

4. 473125\dfrac{4}{7- \dfrac{3}{1- \dfrac{2}{5}}}의 값은?

22
33
44
55
66

5. 이차방정식 x2+ax+b=0x^{2} + ax + b = 0의 두 근이 22, 33일 때, 이차방정식 ax2+bx+2=0a x^{2} + b x + 2 = 0의 두 근의 합은?

15\dfrac{1}{5}
25\dfrac{2}{5}
35\dfrac{3}{5}
45\dfrac{4}{5}
65\dfrac{6}{5}

6. 함수 y=xy = \sqrt{x}의 그래프 위의 두 점 P(a,b)P ( a, b ), Q(c,d)Q ( c, d )에 대하여 b+d2=1\dfrac{b + d}{2} = 1일 때, 직선 PQPQ의 기울기는? (단, 0<a<c0 < a < c)

15\dfrac{1}{5}
14\dfrac{1}{4}
13\dfrac{1}{3}
12\dfrac{1}{2}
11

7. 시간 tt에 따라 감소하는 함수 f(t)f(t)에 대하여 f(t+c)=12f(t)f(t+c) = \dfrac{1}{2} f(t)를 만족시키는 양의 상수 ccf(t)f ( t )의 반감기라 한다. 함수 f(t)=3tf ( t ) = 3^{-t}의 반감기는?

13log32\dfrac{1}{3} \log_{3} 2
12log32\dfrac{1}{2} \log_{3} 2
log32\log_{3} 2
2log322 \log_{3} 2
3log323 \log_{3} 2

8. 고대 인도의 수학자 바스카라는 다음과 같은 식을 사용하였다. a+b=a+   2+a   2\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a +\sqrt{\fbox{   }}}{2}} + \sqrt{\dfrac{a -\sqrt{\fbox{   }}}{2}}    \fbox{   } 안에 알맞은 것은? (단, ab1a \ge b \ge 1)

bb
a2ba^{2} - b
a2+ba^{2} + b
a+ba + b
aba - b

9. 전체집합 U={1,2,3,,100}U = \left\{1, 2, 3, \cdots, 100 \right\}의 부분집합 AA에 대하여 f(A)f ( A )AA에 속하는 모든 원소의 합이라고 하자. UU의 두 부분집합 AA, BB에 대하여, [보기] 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, f(ϕ)=0f ( \phi ) = 0)

 <보 기> 
ㄱ. f(Ac)=f(U)f(A)f ( A^{c} ) = f ( U ) - f ( A )
ㄴ. ABA \subset B이면 f(A)f(B)f ( A ) \le f ( B )이다.
ㄷ. f(AB)=f(A)+f(B)f ( A \cap B ) = f ( A ) + f ( B )

① ㄴ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10. [보기]의 함수 f(x)f (x )(fff)(x)=f(x)(f \circ f \circ f ) (x )=f (x )가 성립하는 것을 모두 고른 것은?

 <보 기> 
ㄱ. f(x)=x+1f (x )=x+1
ㄴ. f(x)=xf (x )=-x
ㄷ. f(x)=x+1f (x )=-x+1

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ

11. 부등식 log2(2x1)<1\log_{2} (2x-1) < 1을 만족시키는 xx의 범위는?

0<x<10 < x < 1
12<x<32\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2}
1<x<21 < x < 2
1<x<521 < x < \dfrac{5}{2}
32<x<52\dfrac{3}{2} < x < \dfrac{5}{2}

12. ABC\triangle A B C에서 6sinA=23sinB=3sinC6 \sin A = 2 \sqrt{3} \sin B = 3 \sin C가 성립할 때, A\angle A의 크기는?

120˚120˚
90˚90˚
60˚60˚
45˚45˚
30˚30˚

13. 반지름의 길이가 22이고 중심이 C(4,4)C(4, 4)인 원이 있다. 원점 OO와 중심 CC를 잇는 선분이 원과 만나는 점을 P(a,b)P(a, b)라 할 때, aa의 값은?

1+21+ \sqrt{2}
323- \sqrt{2}
2+22+ \sqrt{2}
424- \sqrt{2}
3+23+ \sqrt{2}

14. 집합 X={1,2,3}X = \left\{ 1, 2, 3\right\}, Y={a,b,c}Y = \left\{a, b, c\right\}, Z={4,5,6}Z = \left\{ 4, 5, 6\right\}에 대하여, 일대일 대응인 함수 f:XYf : X \to Y와 함수 g:YZg : Y \to Zf(1)=af(1) = a, g(c)=6g ( c ) = 6, (gf)(2)=4( g \circ f ) ( 2) = 4를 만족시킬 때, f(3)f ( 3 )의 값은?

aa
bb
cc
bb, cc 모두 가능하다.
aa, bb, cc 모두 가능하다.

15. 두 개의 논리상자 AABB가 있다. 논리상자 AA는 문자 xxyy로 이루어진 네 자리 문자열을 xxyy로, yyxx로 바꾼다. 논리상자 BB는 두 개의 네 자리 문자열을 각 자리의 문자가 서로 같으면 xx, 서로 다르면 yy인 하나의 네 자리 문자열로 바꾼다. 다음과 같은 논리회로에 두 문자열 xyxyx y x y, xxyxx x y x를 입력하였을 때, 출력 ㈐에 들어갈 문자열은?

xxxxx x x x
xxxyx x x y
xxyyx x y y
xyyyx y y y
yyyyy y y y

16. 음이 아닌 정수 nn에 대하여 nn55로 나눈 나머지를 f(n)f ( n ), 1010으로 나눈 나머지를 g(n)g ( n )이라 하자. [보기] 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

 <보 기> 
ㄱ. f(f(n))=f(n)f ( f ( n ) ) = f ( n )
ㄴ. g(f(n))=g(n)g ( f ( n ) ) = g ( n )
ㄷ. f(g(n))=f(n)f ( g ( n ) ) = f ( n )

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ

17. 다음은 ABC\triangle A B C의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만남을 증명한 것이다.

 <증 명> 
직선 BCB Cxx축, 변 BCB C의 수직이등분선을 yy축으로 잡고, A(a,b)A ( a, b ), B(c,0)B ( - c, 0 ), C(c,0)C(c, 0 )라고 하자. (단, b0b \ne 0, c>0c > 0)

ⅰ) aca \ne c이고 aca \ne - c일 때,
직선 ACAC의 기울기는 bac\dfrac{b}{a - c}이므로,
ACAC의 중점 EE를 지나고 변 ACAC에 수직인 직선의 방정식은
y=  ㈎  (xa+c2)+b2=  ㈎  x+  ㈏  y = \fbox{  ㈎  } \left( x - \dfrac{a + c}{2} \right) + \dfrac{b}{2} = \fbox{  ㈎  } x + \fbox{  ㈏  } \cdots
같은 방법으로, 변 ABAB의 중점 DD를 지나고 변 ABAB에 수직인 직선의 방정식은
y=(a+c2)+b2=  ㈏  y = - \left( \dfrac{a + c}{2} \right) + \dfrac{b}{2} = \fbox{  ㈏  } \cdots
두 직선 ①, ②의 yy절편이 같으므로 세 변의 수직이등분선은 yy축 위의 점 (0,  ㈏  )\left( 0, \fbox{  ㈏  } \right)에서 만난다.
따라서, ABC\triangle ABC의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.

ⅱ) a=ca =c 또는 a=ca =- c일 때,
ABC\triangle ABC    ㈐    \fbox{    ㈐    }이므로 세 변의 수직이등분선은 DD 또는 EE에서 만난다.
따라서 ABC\triangle ABC의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.

위의 증명과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

acb- \dfrac{a - c}{b}, a2+b2c22b\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}, 직각삼각형
acb- \dfrac{a - c}{b}, a2+b2c22b\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}, 정삼각형
acb- \dfrac{a - c}{b}, a2+b2c22b\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}, 이등변삼각형
acb\dfrac{a - c}{b}, a2+b2c22b\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}, 이등변삼각형
acb\dfrac{a - c}{b}, a2+b2c22b\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}, 직각삼각형

18. 다음은 4k+34k + 3꼴의 소수가 무수히 많음을 증명한 것이다. (단, kk는 음이 아닌 정수이다.)

 <증 명> 
4k+34k + 3꼴의 소수가 유한개 있다고 가정하고, 이것을 33, 77, 1111, 1919, \cdots, pp라 하자.
n=4(371119p)+3n = 4(3\cdot7\cdot11\cdot19\cdot\cdots\cdot p)+ 3이라 하면,
nn33, 77, 1111, 1919, \cdots, pp  ㈎  \fbox{  ㈎  }.
nn의 모든 소인수는 4k+14k + 1 또는 4k+34k + 3꼴의 정수이고, 4k+14k + 1꼴의 두 정수를 곱하면   ㈏  \fbox{  ㈏  }꼴의 정수이다.
그러므로 nn의 모든 소인수가   ㈏  \fbox{  ㈏  }꼴이면, nn  ㈏  \fbox{  ㈏  }꼴이다.
이것은 모순이므로 nn  ㈐  \fbox{  ㈐  }꼴의 소인수 qq를 갖는다.
nnqq로 나누어 떨어지므로, 33, 77, 1111, 1919, \cdots, pp가 아닌 4k+34k + 3꼴의 소수가 존재한다. 이것은 가정에 모순이다.
따라서, 4k+34k + 3꼴의 소수는 무수히 많다.

위의 증명과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① 나누어 떨어진다. 4k+14k + 1, 4k+14k + 1
② 나누어 떨어진다. 4k+34k + 3, 4k+34k + 3
③ 나누어 떨어지지 않는다. 4k+34k + 3, 4k+14k + 1
④ 나누어 떨어지지 않는다. 4k+14k + 1, 4k+14k + 1
⑤ 나누어 떨어지지 않는다. 4k+14k + 1, 4k+34k + 3

19. 부등식 cos2θ3cosθa+90\cos^{2} \theta - 3 \cos \theta - a + 9 \ge 0이 모든 θ\theta 에 대하여 항상 성립하는 실수 aa의 범위는?

1a9- 1 \le a \le 9
a0a \ge 0
a5a \ge 5
a7a \le 7
a9a \le 9

20. 반지름의 길이가 11인 원 OO^{\prime}이 반지름의 길이가 3인 원 OO에 내접하고 있다. 두 원의 접점 AA를 한 꼭지점으로 하고 원 OO에 내접하는 ABC\triangle ABC가 원 OO^{\prime}과 만나는 점을 DD, EE라 하자. ADE\triangle ADEABC\triangle ABC의 넓이의 비는?

1:91 : 9
1:71 : 7
1:61 : 6
1:51 : 5
1:31 : 3

21. 함수 y=1xy= \dfrac{1}{x}의 그래프 위의 한 점 P(a,b)P(a, b)에서 직선 y=xy=x 위에 내린 수선의 발을 QQ라 할 때, 점 QQ에서 xx축에 내린 수선이 y=1xy= \dfrac{1}{x}과 만나는 점 RR의 좌표는? (단, a>1a > 1)

(a+b2,2a+b)\left( \dfrac{a+b}{2}, \dfrac{2}{a+b} \right)
(a+b,1a+b)\left( a+b, \dfrac{1}{a+b} \right)
(a+b2,2a+b)\left( \dfrac{a+b}{\sqrt{2}}, \dfrac{\sqrt{2}}{a+b} \right)
(a+b,2a+b)\left( a+b, \dfrac{2}{a+b} \right)
(2a+b,a+b)\left( \dfrac{2}{a+b}, a+b \right)

22. 오른쪽 그림은 폭이 일정한 직선 도로를 원근법에 따라 그린 것이다. 그림에서 도로의 폭은 화가로부터의 거리에 반비례하게 그려져 있다. 도로 중앙의 두 지점 AA, BB에서의 도로 폭을 그림에서 재어 보니 각각 10cm, 2cm이었다. 화가로부터 지점 AA까지의 실제 거리가 100m이면 화가로부터 지점 BB까지의 실제 거리는?

① 300m
② 400m
③ 500m
④ 600m
⑤ 800m

23. 입력값의 전체집합 U={0,1,2,3}U = \left\{ 0, 1, 2, 3\right\}에 대하여 빨강에서 보라까지 77개의 전등으로 구성된 숫자판을 다음과 같이 점등하고자 한다.

입력값을 이진법의 수로 pq(2)pq_{(2)}와 같이 표현하였을 때, pp11인 입력값의 집합을 PP, qq11인 입력값의 집합을 QQ라 하자. 빨간 전등이 점등되는 모든 입력값의 집합을 올바르게 나타낸 것은?

PP
QQ
PQcP \cup Q^{c}
PcQP^{c} \cup Q
PcQcP^{c} \cap Q^{c}

24. 컴퓨터 중앙처리장치의 속도는 1985년 1MHz이던 것이 매 3년마다 약 4배의 비율로 빨라지고 있다. 한 연구에 의하면, 현재 기술로 이와 같은 발전을 지속할 수 있는 중앙처리장치 속도의 한계는 약 4,000MHz라고 한다. 이 연구에서 현재 기술이 한계에 도달할 것으로 예측되는 해는? (단, MHz는 중앙처리장치 속도의 단위이며, log2=0.3\log 2 = 0.3으로 계산한다.)

① 2003년
② 2006년
③ 2009년
④ 2012년
⑤ 2024년

25. 다항식 x3+5x2+10x+6x^{3} + 5x^{2} + 10x + 6(x+a)(x2+4x+b)( x + a ) ( x^{2} + 4x + b )로 인수분해될 때, a+ba + b의 값을 구하시오.

26. 전체집합이 U={1,2,3,,100}U=\left\{1, 2, 3, \cdots, 100\right\}이고A={xUx는 홀수},    B={xUx는 3의 배수}A= \left\{ x \in U \,|\,x\text{는 홀수}\right\},\,\,\,\,B= \left\{ x \in U \,|\, x\text{는 3의 배수}\right\}일 때, 집합 AcBA^{c} \cap B의 원소의 개수를 구하시오.

27. 직선 y=xy = x에 대하여 대칭인 두 직선 y=axy = a x, y=bxy = bx가 이루는 각이 30˚30˚ 일 때, 3(a2+b2)3 ( a^{2} + b^{2} )의 값을 구하시오.

28. 반지름의 길이가 1010인 원 OO의 내부에 한 점 PP가 있다. 점 PP를 지나고 직선 OPOP에 수직인 직선이 원과 만나는 두 점 AA, BB에서의 두 접선의 교점을 QQ라 하자. OP=5\overline{OP} = 5일 때, 선분 PQPQ의 길이를 구하시오.

29. 세 부등식 2x+y122x + y \le 12, 2x+y0 - 2x + y \le 0, y0y \ge 0을 동시에 만족시키는 영역의 넓이를 구하시오.

30. 1x1-1 \le x \le 1에서 부등식 x+ax22x+bx + a \le x^{2} \le 2x + b가 항상 성립할 때, bab - a의 최소값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.