10. [보기]의 함수 f(x) 중 (f∘f∘f)(x)=f(x)가 성립하는 것을 모두 고른 것은?
<보 기>
ㄱ. f(x)=x+1
ㄴ. f(x)=−x
ㄷ. f(x)=−x+1
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ
11. 부등식 log2(2x−1)<1을 만족시키는 x의 범위는?
① 0<x<1
② 21<x<23
③ 1<x<2
④ 1<x<25
⑤ 23<x<25
12. △ABC에서 6sinA=23sinB=3sinC가 성립할 때, ∠A의 크기는?
① 120˚
② 90˚
③ 60˚
④ 45˚
⑤ 30˚
13. 반지름의 길이가 2이고 중심이 C(4,4)인 원이 있다. 원점 O와 중심 C를 잇는 선분이 원과 만나는 점을 P(a,b)라 할 때, a의 값은?
① 1+2
② 3−2
③ 2+2
④ 4−2
⑤ 3+2
14. 집합 X={1,2,3}, Y={a,b,c}, Z={4,5,6}에 대하여, 일대일 대응인 함수 f:X→Y와 함수 g:Y→Z가 f(1)=a, g(c)=6, (g∘f)(2)=4를 만족시킬 때, f(3)의 값은?
① a
② b
③ c
④ b, c 모두 가능하다.
⑤ a, b, c 모두 가능하다.
15. 두 개의 논리상자 A와 B가 있다. 논리상자 A는 문자 x와 y로 이루어진 네 자리 문자열을 x는 y로, y는 x로 바꾼다. 논리상자 B는 두 개의 네 자리 문자열을 각 자리의 문자가 서로 같으면 x, 서로 다르면 y인 하나의 네 자리 문자열로 바꾼다. 다음과 같은 논리회로에 두 문자열 xyxy, xxyx를 입력하였을 때, 출력 ㈐에 들어갈 문자열은?
① xxxx
② xxxy
③ xxyy
④ xyyy
⑤ yyyy
16. 음이 아닌 정수 n에 대하여 n을 5로 나눈 나머지를 f(n), 10으로 나눈 나머지를 g(n)이라 하자. [보기] 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
<보 기>
ㄱ. f(f(n))=f(n)
ㄴ. g(f(n))=g(n)
ㄷ. f(g(n))=f(n)
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ
17. 다음은 △ABC의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만남을 증명한 것이다.
<증 명>
직선 BC를 x축, 변 BC의 수직이등분선을 y축으로 잡고, A(a,b), B(−c,0), C(c,0)라고 하자. (단, b=0, c>0)
ⅰ) a=c이고 a=−c일 때,
직선 AC의 기울기는 a−cb이므로,
변 AC의 중점 E를 지나고 변 AC에 수직인 직선의 방정식은 y= ㈎ (x−2a+c)+2b= ㈎ x+ ㈏ ⋯ ①
같은 방법으로, 변 AB의 중점 D를 지나고 변 AB에 수직인 직선의 방정식은 y=−(2a+c)+2b= ㈏ ⋯ ②
두 직선 ①, ②의 y절편이 같으므로 세 변의 수직이등분선은 y축 위의 점 (0, ㈏ )에서 만난다.
따라서, △ABC의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.
ⅱ) a=c 또는 a=−c일 때, △ABC는 ㈐ 이므로 세 변의 수직이등분선은 D 또는 E에서 만난다.
따라서 △ABC의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.
위의 증명과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?
① −ba−c, 2ba2+b2−c2, 직각삼각형
② −ba−c, 2ba2+b2−c2, 정삼각형
③ −ba−c, 2ba2+b2−c2, 이등변삼각형
④ ba−c, 2ba2+b2−c2, 이등변삼각형
⑤ ba−c, 2ba2+b2−c2, 직각삼각형
18. 다음은 4k+3꼴의 소수가 무수히 많음을 증명한 것이다. (단, k는 음이 아닌 정수이다.)
<증 명>
4k+3꼴의 소수가 유한개 있다고 가정하고, 이것을 3, 7, 11, 19, ⋯, p라 하자. n=4(3⋅7⋅11⋅19⋅⋯⋅p)+3이라 하면, n은 3, 7, 11, 19, ⋯, p로 ㈎ . n의 모든 소인수는 4k+1 또는 4k+3꼴의 정수이고, 4k+1꼴의 두 정수를 곱하면 ㈏ 꼴의 정수이다.
그러므로 n의 모든 소인수가 ㈏ 꼴이면, n도 ㈏ 꼴이다.
이것은 모순이므로 n은 ㈐ 꼴의 소인수 q를 갖는다. n은 q로 나누어 떨어지므로, 3, 7, 11, 19, ⋯, p가 아닌 4k+3꼴의 소수가 존재한다. 이것은 가정에 모순이다.
따라서, 4k+3꼴의 소수는 무수히 많다.
위의 증명과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?
① 나누어 떨어진다. 4k+1, 4k+1
② 나누어 떨어진다. 4k+3, 4k+3
③ 나누어 떨어지지 않는다. 4k+3, 4k+1
④ 나누어 떨어지지 않는다. 4k+1, 4k+1
⑤ 나누어 떨어지지 않는다. 4k+1, 4k+3
19. 부등식 cos2θ−3cosθ−a+9≥0이 모든 θ에 대하여 항상 성립하는 실수 a의 범위는?
① −1≤a≤9
② a≥0
③ a≥5
④ a≤7
⑤ a≤9
20. 반지름의 길이가 1인 원 O′이 반지름의 길이가 3인 원 O에 내접하고 있다. 두 원의 접점 A를 한 꼭지점으로 하고 원 O에 내접하는 △ABC가 원 O′과 만나는 점을 D, E라 하자. △ADE와 △ABC의 넓이의 비는?
① 1:9
② 1:7
③ 1:6
④ 1:5
⑤ 1:3
21. 함수 y=x1의 그래프 위의 한 점 P(a,b)에서 직선 y=x 위에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 점 Q에서 x축에 내린 수선이 y=x1과 만나는 점 R의 좌표는? (단, a>1)
① (2a+b,a+b2)
② (a+b,a+b1)
③ (2a+b,a+b2)
④ (a+b,a+b2)
⑤ (a+b2,a+b)
22. 오른쪽 그림은 폭이 일정한 직선 도로를 원근법에 따라 그린 것이다. 그림에서 도로의 폭은 화가로부터의 거리에 반비례하게 그려져 있다. 도로 중앙의 두 지점 A, B에서의 도로 폭을 그림에서 재어 보니 각각 10cm, 2cm이었다. 화가로부터 지점 A까지의 실제 거리가 100m이면 화가로부터 지점 B까지의 실제 거리는?
① 300m
② 400m
③ 500m
④ 600m
⑤ 800m
23. 입력값의 전체집합 U={0,1,2,3}에 대하여 빨강에서 보라까지 7개의 전등으로 구성된 숫자판을 다음과 같이 점등하고자 한다.
입력값을 이진법의 수로 pq(2)와 같이 표현하였을 때, p가 1인 입력값의 집합을 P, q가 1인 입력값의 집합을 Q라 하자. 빨간 전등이 점등되는 모든 입력값의 집합을 올바르게 나타낸 것은?
① P
② Q
③ P∪Qc
④ Pc∪Q
⑤ Pc∩Qc
24. 컴퓨터 중앙처리장치의 속도는 1985년 1MHz이던 것이 매 3년마다 약 4배의 비율로 빨라지고 있다. 한 연구에 의하면, 현재 기술로 이와 같은 발전을 지속할 수 있는 중앙처리장치 속도의 한계는 약 4,000MHz라고 한다. 이 연구에서 현재 기술이 한계에 도달할 것으로 예측되는 해는? (단, MHz는 중앙처리장치 속도의 단위이며, log2=0.3으로 계산한다.)
① 2003년
② 2006년
③ 2009년
④ 2012년
⑤ 2024년
25. 다항식 x3+5x2+10x+6이 (x+a)(x2+4x+b)로 인수분해될 때, a+b의 값을 구하시오.
26. 전체집합이 U={1,2,3,⋯,100}이고A={x∈U∣x는홀수},B={x∈U∣x는 3의배수}일 때, 집합 Ac∩B의 원소의 개수를 구하시오.
27. 직선 y=x에 대하여 대칭인 두 직선 y=ax, y=bx가 이루는 각이 30˚일 때, 3(a2+b2)의 값을 구하시오.
28. 반지름의 길이가 10인 원 O의 내부에 한 점 P가 있다. 점 P를 지나고 직선 OP에 수직인 직선이 원과 만나는 두 점 A, B에서의 두 접선의 교점을 Q라 하자. OP=5일 때, 선분 PQ의 길이를 구하시오.
29. 세 부등식 2x+y≤12, −2x+y≤0, y≥0을 동시에 만족시키는 영역의 넓이를 구하시오.
30. −1≤x≤1에서 부등식 x+a≤x2≤2x+b가 항상 성립할 때, b−a의 최소값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.