1999-11 고3 수능 수학(자연계)

2000학년도 대학수학능력시험 수학(자연계)

시행 : 1999.11.17(수)

대상 : 고등학교 3학년

출제 : 교육과정평가원

1999-11 고3 수능 2수학(자연계)[문제].pdf

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1999-11 고3 수능 2수학(자연계)[정답].pdf

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1999-11 고3 수능 2수학(자연계)[해설].pdf

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1. $\log_{7} \dfrac{1}{\sqrt{7}}$의 값은?

① $\dfrac{1}{4}$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $0$
④ $-\dfrac{1}{2}$
⑤ $-\dfrac{1}{4}$

2. 두 벡터 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$에 대하여 $$\left| \overrightarrow{a} \right| =2,\,\,\,\,\left| \overrightarrow{b} \right| =3,\,\,\,\,\left| \overrightarrow{a} -2 \overrightarrow{b} \right| =6$$일 때 내적 $\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}$의 값은?

① $5$
② $4$
③ $3$
④ $2$
⑤ $1$

3. $4 \cos^{2} x + 4 \sin x = 5$일 때, $\sin x$의 값은?

① $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $1$
④ $- \dfrac{1}{2}$
⑤ $- \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

4. 정적분 $\displaystyle\int_{e}^{e^{2}}\dfrac{3(\ln x)^{2}}{x} dx$의 값은?

① $3$
② $4$
③ $5$
④ $6$
⑤ $7$

5. 복소수 $z$가 $z+ \overline{z} =2$, $\arg(z)= \dfrac{\pi}{3}$를 만족시킬 때, $z^{3}$의 값은? (단, $\overline{z}$는 $z$의 켤레복소수이며, $\arg(z)$는 $z$의 편각이다.)

① $8+3 \sqrt{3} i$
② $-8-3 \sqrt{3} i$
③ $8 i$
④ $-2$
⑤ $-8$

6. 함수 $y = \sqrt{x}$의 그래프 위의 두 점 $P ( a, b )$, $Q ( c, d )$에 대하여 $\dfrac{b + d}{2} = 1$일 때, 직선 $PQ$의 기울기는? (단, $0 < a < c$)

① $\dfrac{1}{5}$
② $\dfrac{1}{4}$
③ $\dfrac{1}{3}$
④ $\dfrac{1}{2}$
⑤ $1$

7. 시간 $t$에 따라 감소하는 함수 $f(t)$에 대하여 $$f(t+c) = \dfrac{1}{2} f(t)$$를 만족시키는 양의 상수 $c$를 $f ( t )$의 반감기라 한다. 함수 $f ( t ) = 3^{-t}$의 반감기는?

① $\dfrac{1}{3} \log_{3} 2$
② $\dfrac{1}{2} \log_{3} 2$
③ $\log_{3} 2$
④ $2 \log_{3} 2$
⑤ $3 \log_{3} 2$

8. 고대 인도의 수학자 바스카라는 다음과 같은 식을 사용하였다. $$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a +\sqrt{\fbox{　 　}}}{2}} + \sqrt{\dfrac{a -\sqrt{\fbox{　 　}}}{2}}$$ $\fbox{　 　}$ 안에 알맞은 것은? (단, $a \ge b \ge 1$)

① $b$
② $a^{2} - b$
③ $a^{2} + b$
④ $a + b$
⑤ $a - b$

9. 전체집합 $U = \left\{1, 2, 3, \cdots, 100 \right\}$의 부분집합 $A$에 대하여 $f ( A )$를 $A$에 속하는 모든 원소의 합이라고 하자. $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여, [보기] 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $f ( \phi ) = 0$)

 <보 기> 

ㄱ. $f ( A^{c} ) = f ( U ) - f ( A )$
ㄴ. $A \subset B$이면 $f ( A ) \le f ( B )$이다.
ㄷ. $f ( A \cap B ) = f ( A ) + f ( B )$

① ㄴ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10. $1$이 두 번만 나타나는 이진법의 수를 작은 수부터 차례로 배열하여 얻은 수열

$11_{(2)}$, $101_{(2)}$, $110_{(2)}$, $1001_{(2)}$, $1010_{(2)}$, $1100_{(2)}$, $\cdots $

의 제$56$항과 같은 수는?

① $2^{9} + 1$
② $2^{10} + 2^{9}$
③ $2^{11} + 1$
④ $2^{11} + 2^{10}$
⑤ $2^{13} + 1$

11. 곡선 $x^{3} -xy^{2} =10$ 위의 점 $(-2, 3)$에서의 접선의 기울기는?

① $- \dfrac{1}{4}$
② $- \dfrac{1}{6}$
③ $0$
④ $\dfrac{1}{6}$
⑤ $\dfrac{1}{4}$

12. 오른쪽 삼각기둥에서 두 정사각형 $ABFE$와 $CDEF$의 한 변의 길이는 $1$이다. $\angle AED= \theta $일 때, 선분 $BD$의 길이를 $\theta $의 함수로 나타내면?

① $\sqrt{3-2\cos \theta}$
② $\sqrt{3+2\cos \theta}$
③ $\sqrt{3}$
④ $\sqrt{3-2\sin \theta}$
⑤ $\sqrt{3+2\sin \theta}$

13. 주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수를 $4$로 나눈 나머지를 확률변수 $X$라 하자. $X$의 평균은? (단, 주사위의 각 눈이 나올 확률은 모두 같다.)

① $2$
② $\dfrac{5}{3}$
③ $\dfrac{3}{2}$
④ $\dfrac{4}{3}$
⑤ $1$

14. 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형이 일차변환에 의해 옮겨질 수 있는 도형을 [보기] 중에서 모두 고른 것은?

① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ

15. 두 개의 논리상자 $A$와 $B$가 있다. 논리상자 $A$는 문자 $x$와 $y$로 이루어진 네 자리 문자열을 $x$는 $y$로, $y$는 $x$로 바꾼다. 논리상자 $B$는 두 개의 네 자리 문자열을 각 자리의 문자가 서로 같으면 $x$, 서로 다르면 $y$인 하나의 네 자리 문자열로 바꾼다. 다음과 같은 논리회로에 두 문자열 $x y x y$, $x x y x$를 입력하였을 때, 출력 ㈐에 들어갈 문자열은?

① $x x x x$
② $x x x y$
③ $x x y y$
④ $x y y y$
⑤ $y y y y$

16. 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $n$을 $5$로 나눈 나머지를 $f ( n )$, $10$으로 나눈 나머지를 $g ( n )$이라 하자. [보기] 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

 <보 기> 

ㄱ. $f ( f ( n ) ) = f ( n )$
ㄴ. $g ( f ( n ) ) = g ( n )$
ㄷ. $f ( g ( n ) ) = f ( n )$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ

17. 다음은 $\triangle A B C$의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만남을 증명한 것이다.

 <증 명> 

직선 $B C$를 $x$축, 변 $B C$의 수직이등분선을 $y$축으로 잡고, $A ( a, b )$, $B ( - c, 0 )$, $C(c, 0 )$라고 하자. (단, $b \ne 0$, $c > 0$)

ⅰ) $a \ne c$이고 $a \ne - c$일 때,
직선 $AC$의 기울기는 $\dfrac{b}{a - c}$이므로,
변 $AC$의 중점 $E$를 지나고 변 $AC$에 수직인 직선의 방정식은
$y = \fbox{　 ㈎ 　} \left( x - \dfrac{a + c}{2} \right) + \dfrac{b}{2} = \fbox{　 ㈎ 　} x + \fbox{　 ㈏ 　}$ $\cdots $ ①
같은 방법으로, 변 $AB$의 중점 $D$를 지나고 변 $AB$에 수직인 직선의 방정식은
$y = - \left( \dfrac{a + c}{2} \right) + \dfrac{b}{2} = \fbox{　 ㈏ 　}$ $\cdots $ ②
두 직선 ①, ②의 $y$절편이 같으므로 세 변의 수직이등분선은 $y$축 위의 점 $\left( 0, \fbox{　 ㈏ 　} \right)$에서 만난다.
따라서, $\triangle ABC$의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.

ⅱ) $a =c$ 또는 $a =- c$일 때,
$\triangle ABC$는 $\fbox{　 　 ㈐ 　 　}$이므로 세 변의 수직이등분선은 $D$ 또는 $E$에서 만난다.
따라서 $\triangle ABC$의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.

위의 증명과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $- \dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 직각삼각형
② $- \dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 정삼각형
③ $- \dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 이등변삼각형
④ $\dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 이등변삼각형
⑤ $\dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 직각삼각형

18. 다음은 $4k + 3$꼴의 소수가 무수히 많음을 증명한 것이다. (단, $k$는 음이 아닌 정수이다.)

 <증 명> 

$4k + 3$꼴의 소수가 유한개 있다고 가정하고, 이것을 $3$, $7$, $11$, $19$, $\cdots$, $p$라 하자.
$n = 4(3\cdot7\cdot11\cdot19\cdot\cdots\cdot p)+ 3$이라 하면,
$n$은 $3$, $7$, $11$, $19$, $\cdots$, $p$로 $\fbox{　 ㈎ 　}$.
$n$의 모든 소인수는 $4k + 1$ 또는 $4k + 3$꼴의 정수이고, $4k + 1$꼴의 두 정수를 곱하면 $\fbox{　 ㈏ 　}$꼴의 정수이다.
그러므로 $n$의 모든 소인수가 $\fbox{　 ㈏ 　}$꼴이면, $n$도 $\fbox{　 ㈏ 　}$꼴이다.
이것은 모순이므로 $n$은 $\fbox{　 ㈐ 　}$꼴의 소인수 $q$를 갖는다.
$n$은 $q$로 나누어 떨어지므로, $3$, $7$, $11$, $19$, $\cdots$, $p$가 아닌 $4k + 3$꼴의 소수가 존재한다. 이것은 가정에 모순이다.
따라서, $4k + 3$꼴의 소수는 무수히 많다.

위의 증명과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① 나누어 떨어진다. $4k + 1$, $4k + 1$
② 나누어 떨어진다. $4k + 3$, $4k + 3$
③ 나누어 떨어지지 않는다. $4k + 3$, $4k + 1$
④ 나누어 떨어지지 않는다. $4k + 1$, $4k + 1$
⑤ 나누어 떨어지지 않는다. $4k + 1$, $4k + 3$

19. $0\le \theta\le 2\pi$일 때, $\dfrac{1}{3+4\sin^{2} \theta} + \dfrac{1}{3+4\cos^{2} \theta}$의 최소값은?

① $\dfrac{1}{10}$
② $\dfrac{1}{5}$
③ $\dfrac{3}{10}$
④ $\dfrac{2}{5}$
⑤ $\dfrac{1}{2}$

20. 이차곡선 $x^{2} -4x+9y^{2} -5=0$과 중심이 $(2, 0)$이고 반지름의 길이가 $a$인 원이 서로 다른 네 점에서 만날 때, $a$의 범위는?

① $0 < a \le 2$
② $1 < a < 3$
③ $2 \le a < 4$
④ $0 < a < 4$
⑤ $a \ge 2$

21. 연립부등식 $\begin{cases}7-x \ge 3 | x-3 | \\\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-3} \ge 0\end{cases}$을 만족시키는 $x$의 범위는?

① $x < 1$, $3 < x \le 4$
② $x < 1$, $x \ge 4$
③ $1 < x \le 2$, $x \ge 4$
④ $1 < x < 3$, $3 < x \le 4$
⑤ $1 < x \le 2$, $3 < x \le 4$

22. 어떤 원자의 에너지는 주양자수 $n$에 의해서 결정된다. 주양자수가 $n$인 에너지 상태에는 $2 n^{2}$개의 서로 다른 궤도가 존재한다. 주양자수가 $n = 1$, $2$, $3$, $\cdots$, $9$인 에너지 상태에 있는 모든 궤도의 수는? (단, 주양자수에 다른 에너지 상태에 있는 궤도들은 서로 다르다.)

① $770$
② $570$
③ $408$
④ $350$
⑤ $182$

23. 입력값의 전체집합 $U = \left\{ 0, 1, 2, 3\right\}$에 대하여 빨강에서 보라까지 $7$개의 전등으로 구성된 숫자판을 다음과 같이 점등하고자 한다.

입력값을 이진법의 수로 $pq_{(2)}$와 같이 표현하였을 때, $p$가 $1$인 입력값의 집합을 $P$, $q$가 $1$인 입력값의 집합을 $Q$라 하자. 빨간 전등이 점등되는 모든 입력값의 집합을 올바르게 나타낸 것은?

① $P$
② $Q$
③ $P \cup Q^{c}$
④ $P^{c} \cup Q$
⑤ $P^{c} \cap Q^{c}$

24. 컴퓨터 중앙처리장치의 속도는 1985년 1MHz이던 것이 매 3년마다 약 4배의 비율로 빨라지고 있다. 한 연구에 의하면, 현재 기술로 이와 같은 발전을 지속할 수 있는 중앙처리장치 속도의 한계는 약 4,000MHz라고 한다. 이 연구에서 현재 기술이 한계에 도달할 것으로 예측되는 해는? (단, MHz는 중앙처리장치 속도의 단위이며, $\log 2 = 0.3$으로 계산한다.)

① 2003년
② 2006년
③ 2009년
④ 2012년
⑤ 2024년

25. 다항식 $x^{3} + 5x^{2} + 10x + 6$이 $( x + a ) ( x^{2} + 4x + b )$로 인수분해될 때, $a + b$의 값을 구하시오.

26. 다항함수 $f (x )$가 $\displaystyle\int_{2}^{x} f ( t ) dt = x^{2} + ax + 2$를 만족시킬 때, $f ( 10 )$의 값을 구하시오.

27. 직선 $y = x$에 대하여 대칭인 두 직선 $y = a x$, $y = bx$가 이루는 각이 $30˚ $일 때, $3 ( a^{2} + b^{2} )$의 값을 구하시오.

28. 반지름의 길이가 $10$인 원 $O$의 내부에 한 점 $P$가 있다. 점 $P$를 지나고 직선 $OP$에 수직인 직선이 원과 만나는 두 점 $A$, $B$에서의 두 접선의 교점을 $Q$라 하자. $\overline{OP} = 5$일 때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오.

29. $1$에서 $10$까지의 자연수 중에서 서로 다른 두 수를 임의로 선택할 때, 선택된 두 수의 곱이 짝수가 되는 경우의 수를 구하시오.

30. $-1 \le x \le 1$에서 부등식 $x + a \le x^{2} \le 2x + b$가 항상 성립할 때, $b - a$의 최소값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.