1998-11 고3 수능 수학(자연계)

1999학년도 대학수학능력시험 수학(자연계)

시행 : 1998.11.18(수)

대상 : 고등학교 3학년

출제 : 교육과정평가원

1998-11 고3 수능 2수학(자연계)[문제].pdf

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1998-11 고3 수능 2수학(자연계)[정답].pdf

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1998-11 고3 수능 2수학(자연계)[해설].pdf

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1. $\log_{2} 6-\log_{2} \dfrac{3}{2}$의 값은?

① $0$
② $-1$
③ $1$
④ $-2$
⑤ $2$

2. $\sin x+\cos x= \sqrt{2}$일 때, $\sin x \cos x$의 값은?

① $1$
② $\sqrt{2}$
③ $- \sqrt{2}$
④ $\dfrac{1}{2}$
⑤ $- \dfrac{1}{2}$

3. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (1+x)}{2x}$의 값은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $\dfrac{1}{2}$
⑤ $\dfrac{1}{3}$

4. $z = \dfrac{-1 + \sqrt{3} i}{2}$일 때, 복소평면 위에 세 복소수 $1$, $z$, $z^{2}$을 나타내는 점을 각각 $A$, $B$, $C$라 하자. $\angle ABC$의 크기는?

① $30 ˚$
② $45 ˚$
③ $60 ˚$
④ $90 ˚$
⑤ $120 ˚$

5. [보기] 중 같은 함수끼리 짝지어진 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $\begin{cases}y=\log (x-1)(x-2)\\y=\log (x-1)+\log (x-2)\end{cases}$
ㄴ. $\begin{cases}y= \dfrac{x^{2} -1}{x-1}\\y=x+1\end{cases}$
ㄷ. $\begin{cases}y=x\\y=\sqrt[3]{x^{3}}\end{cases}$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄷ

6. 함수 $f (x)= \dfrac{x-1}{x-2}$의 역함수가 $f^{-1} (x)= \dfrac{ax+b}{x+c}$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$의 합 $a+b+c$는?

① $-1$
② $0$
③ $1$
④ $2$
⑤ $3$

7. [보기]의 수열 $\left\{ a_{n} \right\}$ 중 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{1} +a_{2} +a_{3} + \cdots +a_{n}}{n}$이 존재하는 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $a_{n} =n$
ㄴ. $a_{n} = \dfrac{1}{2^{n}}$
ㄷ. $a_{n} =(-1)^{n}$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 자연수 $n$에 대하여 집합 $A_{n}$을 $$A_{n} = \left\{ x \,|\, x\text{는$$$n$과 서로소인 자연수}\right\}라고 할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $A_{2} =A_{4}$
ㄴ. $A_{3} =A_{6}$
ㄷ. $A_{6} =A_{3} \cap A_{4}$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 모든 실수 $x$에 대하여 정의된 함수 $f (x)=[ x ]+[-x ]$의 치역은? (단, $[ x ]$는 $x$를 넘지 않는 최대정수이다.)

① $\left\{ 0,-1 \right\}$
② $\left\{ 1,-1\right\}$
③ $\left\{ 0, 1\right\}$
④ $\left\{0,1, -1 \right\}$
⑤ $\left\{ 0 \right\}$

10. 두 집합 $A$, $B$의 합집합과 교집합을 다음 그림과 같이 나타내었다.

아래 그림에서 ㈎에 알맞은 것은?

① $\left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$
② $\left\{ 1, 2, 3, 5 \right\}$
③ $\left\{ 2, 3, 5 \right\}$
④ $\left\{ 1, 3, 5 \right\}$
⑤ $\left\{ 3, 5 \right\}$

11. 다음 정적분 중 그 값이 $\displaystyle\int_{a}^{b} \dfrac{1}{x} dx$와 같은 것은? (단, $0 < a < b$)

① $\displaystyle\int_{a+1}^{b+1} \dfrac{1}{x} dx$
② $\displaystyle\int_{2a}^{2b} \dfrac{1}{x} dx$
③ $\displaystyle\int_{a^{2}}^{b^{2}} \dfrac{1}{x} dx$
④ $\displaystyle\int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}} \dfrac{1}{x} dx$
⑤ $\displaystyle\int_{1\over a}^{1\over b} \dfrac{1}{x} dx$

12. 흰 공 $2$개, 검은 공 $2$개가 들어있는 상자에서 $1$개의 공을 꺼내어 그것이 흰 공이면 동전을 $3$회 던지고 검은공이면 동전을 $4$회 던질 때, 앞면이 $3$회 나올 확률은? (단, 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 같다.)

① $\dfrac{3}{16}$
② $\dfrac{5}{16}$
③ $\dfrac{7}{16}$
④ $\dfrac{9}{16}$
⑤ $\dfrac{11}{16}$

13. 두 실수 $x$, $y$에 대하여 $x \ast y$를 $$x \ast y = \begin{cases}x&(x \ge y\text{일 때})\\y&(x \le y\text{일 때})\end{cases}$$로 나타내기로 하자. 예를 들면, $2 \ast 1= 2$이다. 서로 다른 $4$개의 실수로 이루어진 집합 $A= \left\{ a, b, c, d \right\}$의 원소들이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ $A$의 임의의 원소 $x$에 대하여 $x \ast a = x$이다.
㈏ $c \ast d < c \ast b$

다음 중 옳은 것은?

① $b < c < a$
② $b < d < a$
③ $d < b < c$
④ $a < b < c$
⑤ $a < c < b$

14. 좌표평면 위의 점 $P(x, y)$가 다음과 같은 규칙에 따라 이동하거나 이동하지 않는다. $P$가 점 $A(6, 5)$에서 출발하여 어떤 점 $B$에서 더 이상 이동하지 않게 되었다. $A$에서 $B$에 이르기까지 이동한 회수는?

㈎ $y=2 x$이면 이동하지 않는다.
㈏ $y < 2 x$이면 $x$축 방향으로 $-1$만큼 이동한다.
㈐ $y > 2 x$이면 $y$축 방향으로 $-1$만큼 이동한다.

① $4$
② $5$
③ $6$
④ $7$
⑤ $8$

15. 다음은 $1$보다 큰 자연수 $n$에 대한 명제 ‘$\sqrt{n}$보다 작거나 같은 모든 소수가 $n$을 나누지 않으면, $n$은 소수이다.’를 증명한 것이다.

 <증 명> 

결론을 부정하여 $n$이 소수가 아니라고 가정하면,
$n=l m$인 $1$보다 큰 자연수 $l$, $m$이 존재한다.
$l$을 나누는 한 소수를 $p$, $m$을 나누는 한 소수를 $q$라 하면, $p q$는 $l m$을 나눈다. 그러므로 $p q \le n$이다.
만약 $p > \sqrt{n}$이고 $q > \sqrt{n}$이면 $p q > \sqrt{n} \sqrt{n} =n$이므로 모순이다. 따라서, $\fbox{　 　 ㈎ 　 　}$이다.
즉, $n$의 약수 중에서 $\sqrt{n}$보다 작거나 같은 소수가 존재한다. 그런데 이것은 가정에 모순이므로 $n$은 소수이다.

위의 증명에서 ㈎에 알맞은 것은?

① $p \le \sqrt{n}$이거나 $q \le \sqrt{n}$
② $p \le \sqrt{n}$이고 $q \le \sqrt{n}$
③ $p \le \sqrt{n}$이거나 $q \ge \sqrt{n}$
④ $p \le \sqrt{n}$이고 $q \ge \sqrt{n}$
⑤ $p \ge \sqrt{n}$이거나 $q \ge \sqrt{n}$

16. 원 $x^{2} +y^{2} =5$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 방정식은?

① $x+y=3$
② $2x-y=0$
③ $x-2y=-3$
④ $2x+y=4$
⑤ $x+2y=5$

17. 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이 있다. 서로 수직인 임의의 두 직선을 이용하여 그림과 같이 네 개의 직사각형으로 나누었을 때, 이들의 넓이를 각각 $A$, $B$, $C$, $D$라 하자. [보기] 중 항상 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $A > \dfrac{1}{4}$이면 $C < \dfrac{1}{4}$이다.
ㄴ. $A < \dfrac{1}{4}$이면 $D > \dfrac{1}{4}$이다.
ㄷ. $A > \dfrac{1}{4}$이면 $D < \dfrac{1}{4}$이다.

18. 임의의 양의 실수 $x$에 대하여, $x$를 넘지 않는 소수의 개수를 $f (x)$라 하자. 예를 들면 $f \left( \dfrac{5}{2} \right) =1$, $f (5)=3$이다. [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $f (10)=4$
ㄴ. 임의의 양의 실수 $x$에 대하여 $f (x) < x$이다.
ㄷ. 임의의 양의 실수 $x$에 대하여 $f (x+1)=f (x)$이다.

① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 공간벡터 $\overrightarrow{OP} =( 1, -1, 1)$를 $x y$평면, $y z$평면, $z x$평면에 정사영시켜 얻은 벡터를 각각 $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$라고 하자. $$\overrightarrow{OP} =a \overrightarrow{OA} +b \overrightarrow{OB} +c \overrightarrow{OC}$$일 때, 세 실수 $a$, $b$, $c$의 합 $a+b+c$는?

① $- \dfrac{3}{2}$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $\dfrac{3}{2}$

20. 좌표평면에서 점 $(x, y)$가 부등식 $-x \le y \le 2-x^{2}$의 영역을 움직일 때, $x+y$의 최대값은?

① $\dfrac{5}{4}$
② $\dfrac{7}{4}$
③ $\dfrac{9}{4}$
④ $\dfrac{11}{4}$
⑤ $\dfrac{13}{4}$

21. 지름 $AB$의 길이가 $10$인 원이 있다. 원 위의 점 $P$, $Q$에 대하여 $\overline{AP} =8$이고 $\angle QAB=2 \angle PAB$이다. 선분 $\overline{AQ}$의 길이는?

① $\dfrac{10}{5}$
② $\dfrac{11}{5}$
③ $\dfrac{12}{5}$
④ $\dfrac{13}{5}$
⑤ $\dfrac{14}{5}$

22. 어떤 고등학교 $3$학년 남학생 수는 여학생 수의 $1.5$배이다. 대학수학능력시험 모의고사 성적의 통계에 따르면 남학생의 평균 점수는 $400$만점에 $225$점이고 여학생의 평균 점수는 $235$점이다. $3$학년 전체 학생의 평균 점수는 몇 점인가?

① $229$
② $230$
③ $231$
④ $232$
⑤ $233$

23. 서양음악의 $12$음계에서 음의 주파수는 반음 올라갈 때마다 일정 비율로 높아져 $12$반음 올라가면 $2$배가 되는 등비수열을 이룬다. 아래 피아노 건반에 표시된 도, 미, 솔의 주파수비 $a_{1} : a_{5} : a_{8}$에 가장 가까운 정수비는? (단, $2^{1\over3} = \dfrac{5}{4}$, $2^{5\over12} = \dfrac{4}{3}$, $2^{7\over12} = \dfrac{3}{2}$으로 근사하여 계산한다.)

① $2 : 3 : 4$
② $3 : 4 : 5$
③ $4 : 5 : 6$
④ $5 : 6 : 8$
⑤ $6 : 8 : 9$

24. 차량들이 고속도로를 차선 변경없이 모두 같은 속력 $v(m/초)$를 유지하면서 달리고 있다고 하자. 제동거리를 고려한 최소 차간거리는 $$f (v)= \dfrac{1}{20} v^{2} + \dfrac{1}{2} v+5(m)$$로 나타낼 수 있다. $60$초 동안 한 차선의 일정 지점을 통과할 수 있는 차량의 수는 최대 몇 대인가? (단, 차량의 길이는 무시 한다.)

① $16$
② $40$
③ $60$
④ $90$
⑤ $225$

25. 좌표평면에서 중심이 $( 1, 1, 1)$이고 평면 $x+2y-2z=31$에 접하는 구의 반지름을 구하시오.

26. 두 부등식 $\dfrac{1}{x-3} \le \dfrac{1}{x-2}$과 $x^{2} -ax+b < 0$의 해가 같을 때, 두 실수 $a$, $b$의 합 $a+b$를 구하시오.

27. 반지름이 $30$인 구 위의 한 점 $N$에 길이가 $5 \pi$인 실의 한 끝을 고정한다. 실을 팽팽하게 유지하면서 구의 표면을 따라 실의 나머지 한 끝을 한 바퀴 돌렸을 때, 구의 표면에 생기는 실 끝의 자취의 길이를 $l$이라 하자. $\dfrac{l}{\pi}$의 값을 구하시오.

28. 다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 $n$을 구하시오.

㈎ $n$은 $60$의 약수이다.
㈏ $n$은 비가 $3 : 7$인 두 자연수의 합이다.
㈐ $n$의 약수의 개수는 $6$이다.

29. 좌표평면에서의 회전변환 $f$와 대칭변환 $g$를 나타내는 행렬이 각각 $\begin{pmatrix}0&-1 \\1&0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&1\end{pmatrix}$이다. 두 변환 $f$와 $g$를 유한 번 합성하여 얻을 수 있는 합성변환에 의하여 점 $P \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2} \right)$가 옮겨질 수 있는 점은 $P$를 포함하여 모두 몇 개인가?

30. 은행의 예금상품은 연이율로 제시된다. $1$년에 이자계산을 $n$번 하는 복리예금의 경우 매번 $\dfrac{(연이율)}{n}$의 이율로 이자를 계산한다. 이 때, 실효수익율은 $$\dfrac{(\text{1년 후의 이자총액})}{(원금)} \times 100(\%)$$로 정의된다. $6$개월마다 복리로 이자를 계산하는 연이율 $10 \%$인 예금상품의 실효수익률($\%$)을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.