1999-11 고3 수능 수학(예체능계)

2000학년도 대학수학능력시험 수학(예체능계)

시행 : 1999.11.17(수)

대상 : 고등학교 3학년

출제 : 교육과정평가원

1999-11 고3 수능 2수학(예체능계)[문제].pdf

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1999-11 고3 수능 2수학(예체능계)[정답].pdf

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1999-11 고3 수능 2수학(예체능계)[해설].pdf

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1. $\log_{7} \dfrac{1}{\sqrt{7}}$의 값은?

① $\dfrac{1}{4}$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $0$
④ $-\dfrac{1}{2}$
⑤ $-\dfrac{1}{4}$

2. $( 4 + 3 i )^{2} - ( 4 - 3 i )^{2}$의 값은?

① $0$
② $24$
③ $48$
④ $24i$
⑤ $48i$

3. $4 \cos^{2} x + 4 \sin x = 5$일 때, $\sin x$의 값은?

① $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $1$
④ $- \dfrac{1}{2}$
⑤ $- \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

4. $\dfrac{4}{7- \dfrac{3}{1- \dfrac{2}{5}}}$의 값은?

① $2$
② $3$
③ $4$
④ $5$
⑤ $6$

5. 이차방정식 $x^{2} + ax + b = 0$의 두 근이 $2$, $3$일 때, 이차방정식 $a x^{2} + b x + 2 = 0$의 두 근의 합은?

① $\dfrac{1}{5}$
② $\dfrac{2}{5}$
③ $\dfrac{3}{5}$
④ $\dfrac{4}{5}$
⑤ $\dfrac{6}{5}$

6. 함수 $y = \sqrt{x}$의 그래프 위의 두 점 $P ( a, b )$, $Q ( c, d )$에 대하여 $\dfrac{b + d}{2} = 1$일 때, 직선 $PQ$의 기울기는? (단, $0 < a < c$)

① $\dfrac{1}{5}$
② $\dfrac{1}{4}$
③ $\dfrac{1}{3}$
④ $\dfrac{1}{2}$
⑤ $1$

7. 시간 $t$에 따라 감소하는 함수 $f(t)$에 대하여 $$f(t+c) = \dfrac{1}{2} f(t)$$를 만족시키는 양의 상수 $c$를 $f ( t )$의 반감기라 한다. 함수 $f ( t ) = 3^{-t}$의 반감기는?

① $\dfrac{1}{3} \log_{3} 2$
② $\dfrac{1}{2} \log_{3} 2$
③ $\log_{3} 2$
④ $2 \log_{3} 2$
⑤ $3 \log_{3} 2$

8. 고대 인도의 수학자 바스카라는 다음과 같은 식을 사용하였다. $$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a +\sqrt{\fbox{　 　}}}{2}} + \sqrt{\dfrac{a -\sqrt{\fbox{　 　}}}{2}}$$ $\fbox{　 　}$ 안에 알맞은 것은? (단, $a \ge b \ge 1$)

① $b$
② $a^{2} - b$
③ $a^{2} + b$
④ $a + b$
⑤ $a - b$

9. 전체집합 $U = \left\{1, 2, 3, \cdots, 100 \right\}$의 부분집합 $A$에 대하여 $f ( A )$를 $A$에 속하는 모든 원소의 합이라고 하자. $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여, [보기] 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $f ( \phi ) = 0$)

 <보 기> 

ㄱ. $f ( A^{c} ) = f ( U ) - f ( A )$
ㄴ. $A \subset B$이면 $f ( A ) \le f ( B )$이다.
ㄷ. $f ( A \cap B ) = f ( A ) + f ( B )$

① ㄴ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10. [보기]의 함수 $f (x )$ 중 $(f \circ f \circ f ) (x )=f (x )$가 성립하는 것을 모두 고른 것은?

 <보 기> 

ㄱ. $f (x )=x+1$
ㄴ. $f (x )=-x$
ㄷ. $f (x )=-x+1$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ

11. 부등식 $\log_{2} (2x-1) < 1$을 만족시키는 $x$의 범위는?

① $0 < x < 1$
② $\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2}$
③ $1 < x < 2$
④ $1 < x < \dfrac{5}{2}$
⑤ $\dfrac{3}{2} < x < \dfrac{5}{2}$

12. $\triangle A B C$에서 $$6 \sin A = 2 \sqrt{3} \sin B = 3 \sin C$$가 성립할 때, $\angle A$의 크기는?

① $120˚ $
② $90˚ $
③ $60˚ $
④ $45˚ $
⑤ $30˚ $

13. 반지름의 길이가 $2$이고 중심이 $C(4, 4)$인 원이 있다. 원점 $O$와 중심 $C$를 잇는 선분이 원과 만나는 점을 $P(a, b)$라 할 때, $a$의 값은?

① $1+ \sqrt{2}$
② $3- \sqrt{2}$
③ $2+ \sqrt{2}$
④ $4- \sqrt{2}$
⑤ $3+ \sqrt{2}$

14. 집합 $X = \left\{ 1, 2, 3\right\}$, $Y = \left\{a, b, c\right\}$, $Z = \left\{ 4, 5, 6\right\}$에 대하여, 일대일 대응인 함수 $f : X \to Y$와 함수 $g : Y \to Z$가 $f(1) = a$, $g ( c ) = 6$, $( g \circ f ) ( 2) = 4$를 만족시킬 때, $f ( 3 )$의 값은?

① $a$
② $b$
③ $c$
④ $b$, $c$ 모두 가능하다.
⑤ $a$, $b$, $c$ 모두 가능하다.

15. 두 개의 논리상자 $A$와 $B$가 있다. 논리상자 $A$는 문자 $x$와 $y$로 이루어진 네 자리 문자열을 $x$는 $y$로, $y$는 $x$로 바꾼다. 논리상자 $B$는 두 개의 네 자리 문자열을 각 자리의 문자가 서로 같으면 $x$, 서로 다르면 $y$인 하나의 네 자리 문자열로 바꾼다. 다음과 같은 논리회로에 두 문자열 $x y x y$, $x x y x$를 입력하였을 때, 출력 ㈐에 들어갈 문자열은?

① $x x x x$
② $x x x y$
③ $x x y y$
④ $x y y y$
⑤ $y y y y$

16. 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $n$을 $5$로 나눈 나머지를 $f ( n )$, $10$으로 나눈 나머지를 $g ( n )$이라 하자. [보기] 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

 <보 기> 

ㄱ. $f ( f ( n ) ) = f ( n )$
ㄴ. $g ( f ( n ) ) = g ( n )$
ㄷ. $f ( g ( n ) ) = f ( n )$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ

17. 다음은 $\triangle A B C$의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만남을 증명한 것이다.

 <증 명> 

직선 $B C$를 $x$축, 변 $B C$의 수직이등분선을 $y$축으로 잡고, $A ( a, b )$, $B ( - c, 0 )$, $C(c, 0 )$라고 하자. (단, $b \ne 0$, $c > 0$)

ⅰ) $a \ne c$이고 $a \ne - c$일 때,
직선 $AC$의 기울기는 $\dfrac{b}{a - c}$이므로,
변 $AC$의 중점 $E$를 지나고 변 $AC$에 수직인 직선의 방정식은
$y = \fbox{　 ㈎ 　} \left( x - \dfrac{a + c}{2} \right) + \dfrac{b}{2} = \fbox{　 ㈎ 　} x + \fbox{　 ㈏ 　}$ $\cdots $ ①
같은 방법으로, 변 $AB$의 중점 $D$를 지나고 변 $AB$에 수직인 직선의 방정식은
$y = - \left( \dfrac{a + c}{2} \right) + \dfrac{b}{2} = \fbox{　 ㈏ 　}$ $\cdots $ ②
두 직선 ①, ②의 $y$절편이 같으므로 세 변의 수직이등분선은 $y$축 위의 점 $\left( 0, \fbox{　 ㈏ 　} \right)$에서 만난다.
따라서, $\triangle ABC$의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.

ⅱ) $a =c$ 또는 $a =- c$일 때,
$\triangle ABC$는 $\fbox{　 　 ㈐ 　 　}$이므로 세 변의 수직이등분선은 $D$ 또는 $E$에서 만난다.
따라서 $\triangle ABC$의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.

위의 증명과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $- \dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 직각삼각형
② $- \dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 정삼각형
③ $- \dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 이등변삼각형
④ $\dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 이등변삼각형
⑤ $\dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 직각삼각형

18. 다음은 $4k + 3$꼴의 소수가 무수히 많음을 증명한 것이다. (단, $k$는 음이 아닌 정수이다.)

 <증 명> 

$4k + 3$꼴의 소수가 유한개 있다고 가정하고, 이것을 $3$, $7$, $11$, $19$, $\cdots$, $p$라 하자.
$n = 4(3\cdot7\cdot11\cdot19\cdot\cdots\cdot p)+ 3$이라 하면,
$n$은 $3$, $7$, $11$, $19$, $\cdots$, $p$로 $\fbox{　 ㈎ 　}$.
$n$의 모든 소인수는 $4k + 1$ 또는 $4k + 3$꼴의 정수이고, $4k + 1$꼴의 두 정수를 곱하면 $\fbox{　 ㈏ 　}$꼴의 정수이다.
그러므로 $n$의 모든 소인수가 $\fbox{　 ㈏ 　}$꼴이면, $n$도 $\fbox{　 ㈏ 　}$꼴이다.
이것은 모순이므로 $n$은 $\fbox{　 ㈐ 　}$꼴의 소인수 $q$를 갖는다.
$n$은 $q$로 나누어 떨어지므로, $3$, $7$, $11$, $19$, $\cdots$, $p$가 아닌 $4k + 3$꼴의 소수가 존재한다. 이것은 가정에 모순이다.
따라서, $4k + 3$꼴의 소수는 무수히 많다.

위의 증명과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① 나누어 떨어진다. $4k + 1$, $4k + 1$
② 나누어 떨어진다. $4k + 3$, $4k + 3$
③ 나누어 떨어지지 않는다. $4k + 3$, $4k + 1$
④ 나누어 떨어지지 않는다. $4k + 1$, $4k + 1$
⑤ 나누어 떨어지지 않는다. $4k + 1$, $4k + 3$

19. 부등식 $\cos^{2} \theta - 3 \cos \theta - a + 9 \ge 0$이 모든 $\theta $에 대하여 항상 성립하는 실수 $a$의 범위는?

① $- 1 \le a \le 9$
② $a \ge 0$
③ $a \ge 5$
④ $a \le 7$
⑤ $a \le 9$

20. 반지름의 길이가 $1$인 원 $O^{\prime}$이 반지름의 길이가 3인 원 $O$에 내접하고 있다. 두 원의 접점 $A$를 한 꼭지점으로 하고 원 $O$에 내접하는 $\triangle ABC$가 원 $O^{\prime}$과 만나는 점을 $D$, $E$라 하자. $\triangle ADE$와 $\triangle ABC$의 넓이의 비는?

① $1 : 9$
② $1 : 7$
③ $1 : 6$
④ $1 : 5$
⑤ $1 : 3$

21. 함수 $y= \dfrac{1}{x}$의 그래프 위의 한 점 $P(a, b)$에서 직선 $y=x$ 위에 내린 수선의 발을 $Q$라 할 때, 점 $Q$에서 $x$축에 내린 수선이 $y= \dfrac{1}{x}$과 만나는 점 $R$의 좌표는? (단, $a > 1$)

① $\left( \dfrac{a+b}{2}, \dfrac{2}{a+b} \right)$
② $\left( a+b, \dfrac{1}{a+b} \right)$
③ $\left( \dfrac{a+b}{\sqrt{2}}, \dfrac{\sqrt{2}}{a+b} \right)$
④ $\left( a+b, \dfrac{2}{a+b} \right)$
⑤ $\left( \dfrac{2}{a+b}, a+b \right)$

22. 오른쪽 그림은 폭이 일정한 직선 도로를 원근법에 따라 그린 것이다. 그림에서 도로의 폭은 화가로부터의 거리에 반비례하게 그려져 있다. 도로 중앙의 두 지점 $A$, $B$에서의 도로 폭을 그림에서 재어 보니 각각 10cm, 2cm이었다. 화가로부터 지점 $A$까지의 실제 거리가 100m이면 화가로부터 지점 $B$까지의 실제 거리는?

① 300m
② 400m
③ 500m
④ 600m
⑤ 800m

23. 입력값의 전체집합 $U = \left\{ 0, 1, 2, 3\right\}$에 대하여 빨강에서 보라까지 $7$개의 전등으로 구성된 숫자판을 다음과 같이 점등하고자 한다.

입력값을 이진법의 수로 $pq_{(2)}$와 같이 표현하였을 때, $p$가 $1$인 입력값의 집합을 $P$, $q$가 $1$인 입력값의 집합을 $Q$라 하자. 빨간 전등이 점등되는 모든 입력값의 집합을 올바르게 나타낸 것은?

① $P$
② $Q$
③ $P \cup Q^{c}$
④ $P^{c} \cup Q$
⑤ $P^{c} \cap Q^{c}$

24. 컴퓨터 중앙처리장치의 속도는 1985년 1MHz이던 것이 매 3년마다 약 4배의 비율로 빨라지고 있다. 한 연구에 의하면, 현재 기술로 이와 같은 발전을 지속할 수 있는 중앙처리장치 속도의 한계는 약 4,000MHz라고 한다. 이 연구에서 현재 기술이 한계에 도달할 것으로 예측되는 해는? (단, MHz는 중앙처리장치 속도의 단위이며, $\log 2 = 0.3$으로 계산한다.)

① 2003년
② 2006년
③ 2009년
④ 2012년
⑤ 2024년

25. 다항식 $x^{3} + 5x^{2} + 10x + 6$이 $( x + a ) ( x^{2} + 4x + b )$로 인수분해될 때, $a + b$의 값을 구하시오.

26. 전체집합이 $U=\left\{1, 2, 3, \cdots, 100\right\}$이고$$A= \left\{ x \in U \,|\,x\text{는 홀수}\right\},\,\,\,\,B= \left\{ x \in U \,|\, x\text{는 3의 배수}\right\}$$일 때, 집합 $A^{c} \cap B$의 원소의 개수를 구하시오.

27. 직선 $y = x$에 대하여 대칭인 두 직선 $y = a x$, $y = bx$가 이루는 각이 $30˚ $일 때, $3 ( a^{2} + b^{2} )$의 값을 구하시오.

28. 반지름의 길이가 $10$인 원 $O$의 내부에 한 점 $P$가 있다. 점 $P$를 지나고 직선 $OP$에 수직인 직선이 원과 만나는 두 점 $A$, $B$에서의 두 접선의 교점을 $Q$라 하자. $\overline{OP} = 5$일 때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오.

29. 세 부등식 $2x + y \le 12$, $ - 2x + y \le 0$, $y \ge 0$을 동시에 만족시키는 영역의 넓이를 구하시오.

30. $-1 \le x \le 1$에서 부등식 $x + a \le x^{2} \le 2x + b$가 항상 성립할 때, $b - a$의 최소값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.